群の間の写像を考えるとき，教科書は「準同型写像」を次のように定義します．

条件はたった$1$つです．群には単位元と逆元もあるのに，$\phi (e_G)=e_H$や$\phi (a^{-1})=\phi (a{)}^{-1}$は要求しなくてよいのでしょうか．

1 1つの条件で全てが従う

積の保存$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$から，単位元と逆元の保存は自動的に導かれます．

$e_G=e_G\cdot e_G$ですから$\phi (e_G)=\phi (e_G)\phi (e_G)$です．両辺に$\phi (e_G{)}^{-1}$を掛ければ$\phi (e_G)=e_H$が得られます．

逆元について．$a\cdot a^{-1}=e_G$ですから$\phi (a)\phi (a^{-1})=\phi (e_G)=e_H$です．よって$\phi (a^{-1})=\phi (a{)}^{-1}$です．

2 準同型の具体例カタログ

抽象的な定義だけでは掴みにくいので，例を並べて全体像を掴みましょう．

剰余への射影$\pi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$． $\pi (a)=a\mathrm{mod}n$です．$(a+b)\mathrm{mod}n=(a\mathrm{mod}n)+(b\mathrm{mod}n)$ですから準同型です．最も基本的な例であり，前回の商群の構成そのものです．

符号準同型$\mathrm{sgn}:S_n\to \{+1,-1\}$． 偶置換に$+1$，奇置換に$-1$を対応させます．$\mathrm{sgn}(\sigma \tau )=\mathrm{sgn}(\sigma )\cdot \mathrm{sgn}(\tau )$が成り立つので準同型です．$n!$個の元を持つ$S_n$が，たった$2$つの値に凝縮されます．

行列式$\det :G{L}_n(\mathbb{R})\to {\mathbb{R}}^{\ast }$． 線形代数で学ぶ$\det (AB)=\det (A)\det (B)$は，まさに準同型条件です．行列が持つ膨大な情報が$1$つの実数に圧縮されます．

指数関数$\exp :(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{>0},\times )$． $\exp (a+b)=\exp (a)\cdot \exp (b)$ですから，加法群から乗法群への準同型です．逆写像$\log$も準同型です：$\log (xy)=\log (x)+\log (y)$．

複素共役$\overline{}:({\mathbb{C}}^{\ast },\times )\to ({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$． $\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$ですから準同型であり，$\overline{\bar{z}}=z$（全単射）ですから同型写像です．

自明な準同型． 任意の群$G$から任意の群$H$へ$\phi (g)=e_H$で定める写像は，常に準同型です．全ての情報が消える「最悪の準同型」ですが，条件は満たしています．

包含写像． 部分群$H\le G$に対して$\iota :H\hookrightarrow G$（$h\mapsto h$）は単射準同型です．

3 核 — 何が潰されるか

準同型$\phi :G\to H$の核（kernel）は，$H$の単位元に送られる元の集合です：

上の例それぞれで核を見てみましょう：

• $\pi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$：$\ker =n\mathbb{Z}$（$n$ の倍数全体）

• $\mathrm{sgn}:S_n\to \{+1,-1\}$：$\ker =A_n$（偶置換全体＝交代群）

• $\det :G{L}_n(\mathbb{R})\to {\mathbb{R}}^{\ast }$：$\ker =S{L}_n(\mathbb{R})$（行列式 $1$ の行列全体）

• $\exp :\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_{>0}$：$\ker =\{0\}$（$\exp$ は単射）

• 自明な準同型：$\ker =G$（全体が潰される）

• 包含 $H\hookrightarrow G$：$\ker =\{e\}$（単射）

核は「$\phi$によって区別できなくなる差の集合」です．核が大きいほど多くの情報が失われ，$\ker \phi =\{e_G\}$なら$\phi$は単射です．

4 核は必ず正規部分群になる

ここに重要な事実があります．準同型写像の核は，必ず正規部分群です．

$n\in \ker \phi$のとき，任意の$g\in G$に対して

上の例を振り返ると：$n\mathbb{Z}⊴\mathbb{Z}$，$A_n⊴S_n$，$S{L}_n(\mathbb{R})⊴G{L}_n(\mathbb{R})$ — いずれも正規部分群として知られています．準同型の核であることから，正規性が一撃で従うのです．

そして逆も成り立ちます：任意の正規部分群$N⊴G$は，何かの準同型写像の核です．自然な射影$\pi :G\to G/N$（$g\mapsto gN$）の核がまさに$N$だからです．

つまり「正規部分群」と「準同型の核」は同じものの二つの顔です．前回「正規でないと商群が作れない」ことを見ましたが，その理由がここで完全に明らかになります．

5 像 — どこまで届くか

準同型$\phi$の像（image）は$\phi$が到達する$H$の部分集合です：

• $\pi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$：$\mathrm{Im}=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$（全射）

• $\mathrm{sgn}$：$\mathrm{Im}=\{+1,-1\}$（$n\ge 2$ で全射）

• $\det$：$\mathrm{Im}={\mathbb{R}}^{\ast }$（全射）

• $\exp$：$\mathrm{Im}={\mathbb{R}}_{>0}$（${\mathbb{R}}^{\ast }$ 全体には届かない — 負数は $e^x$ で表せない）

像は必ず$H$の部分群です．像が$H$全体と一致するとき$\phi$は全射です．

6 単射・全射・同型

核と像を使えば，写像の性質が簡潔に判定できます：

• $\phi$ が単射$⟺$$\ker \phi =\{e_G\}$

• $\phi$ が全射$⟺$$\mathrm{Im}\phi =H$

• 両方を満たすとき $\phi$ を同型写像といい，$G\cong H$ と書きます

単射の判定は「全ての元のペアを調べる」のではなく「核が自明かどうか」だけで済みます．例えば$\exp :(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{>0},\times )$は$\ker =\{0\}$（単射）かつ$\mathrm{Im}={\mathbb{R}}_{>0}$（全射）ですから同型です．加法群$(\mathbb{R},+)$と乗法群$({\mathbb{R}}_{>0},\times )$が同型 — 一見意外な結果ですが，$\exp$と$\log$の関係を思えば自然です．

7 まとめ

準同型条件$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$のたった$1$つの条件から，単位元・逆元の保存が自動で従います．核は「$\phi$で区別できなくなる差」，像は「$\phi$の到達範囲」であり，この$2$つが準同型の全体像を決定します．特に「核＝正規部分群」「正規部分群＝核」という双方向の対応は，商群と準同型を結ぶ橋であり，次の同型定理の出発点になります．