組合せデザインとラテン方陣 ― 均衡のとれた配置
ラテン方陣の定義と存在，直交ラテン方陣（MOLS），BIBD（均衡不完備ブロック計画），Fisherの不等式，有限射影平面との関連を解説する．
1 ラテン方陣
定義 1 (ラテン方陣).
次のラテン方陣（Latin square）とは， 種類の記号を の配列に配置し，各行・各列にすべての記号がちょうど1回ずつ現れるようにしたものをいう．
例 2.
のラテン方陣の例：
定理 3.
任意の正整数 に対して 次のラテン方陣が存在する．
証明.
（）と定義すれば，各行・各列に がちょうど1回ずつ現れる．これは加法群 のケイリー表に他ならない． □
2 直交ラテン方陣
定義 4 (直交ラテン方陣).
2つの 次ラテン方陣 が直交する（orthogonal）とは， と の組 が 個の位置にわたって 通りの異なる順序対をすべて実現することをいう．
定義 5 (MOLS).
互いに直交する 次ラテン方陣の集合をMOLS（mutually orthogonal Latin squares）という． 次 MOLS の最大個数を と書く．
定理 6.
．
証明.
個の互いに直交する 次ラテン方陣 があるとする．各 の第1行を正規化して の第1行を としてよい． と （）の直交性から， でなければならない（第1行第1列は両方とも なので，第2行第1列が同じならば の組が2回現れる）． であり相異なるので ． □
定理 7.
が素数べきのとき ．
証明.
有限体 を用いる． に対して を （）で定義する．各 はラテン方陣であり， のとき と は直交する． であるから ．上界と合わせて ． □
3 BIBD
定義 8 (BIBD).
元集合 上の均衡不完備ブロック計画（balanced incomplete block design） とは， の 元部分集合（ブロック）の集まり であって，以下の条件を満たすものをいう：
，
任意の2元 （）がちょうど 個のブロックに同時に含まれる．
定理 9 (BIBD の基本等式).
-BIBD に対して
証明.
(1) （，，）の組の個数を2通りに数える． を固定すると 個， を固定すると 個なので ．(2) 元 を固定する． を含むブロックに含まれる 以外の元は各ブロックで 個であり， 個のブロックにわたって 個（重複あり）．一方， 以外の各元 と を共に含むブロックは 個あるので， 個． □
4 Fisher の不等式
定理 10 (Fisher の不等式).
-BIBD に対して （ブロック数は元の数以上）が成り立つ．
証明.
接続行列 （）を考える． であることが確認できる（ は単位行列， は全成分 の行列）．この行列の固有値は （重複度 ）と （重複度 ）であり， より なのですべて正．よって は正則であり ，したがって ． □
5 有限射影平面
定義 11 (有限射影平面).
位数の有限射影平面とは，-BIBD のことである．すなわち ，， を満たす．
定理 12.
位数 の有限射影平面が存在するならば， 個の互いに直交するラテン方陣が存在する．
証明.
有限射影平面の構造から 個の MOLS を構成できる．逆に 個の MOLS から位数 の有限射影平面を構成することもでき，両者は同値である． □
注意 13.
が素数べきのとき有限射影平面は存在する（ 上の射影平面 ）． の場合は Euler の 36 人の士官問題に関連し， であることが Tarry（1901年）により示された． の場合は大規模計算機探索により存在しないことが1989年に証明された．