数論的関数と乗法的関数 ― 整数の関数たち

乗法的関数（$\varphi$, $\sigma$, $\mu$, $d$）を体系的に定義し，ディリクレ畳み込みの環構造を解説する．メビウス反転公式を厳密に証明し，包除原理との関係を明らかにする．

2026年2月27日

1 数論的関数の定義

定義 1 (数論的関数).

正整数を定義域とする関数

f : Z_{> 0} \to C

を数論的関数（arithmetic function）という．

定義 2 (乗法的関数).

数論的関数

f

が乗法的（multiplicative）であるとは，

f (1) = 1

かつ

g cd (m, n) = 1

ならば

f (mn) = f (m) f (n)

が成り立つことをいう．さらに任意の

m, n

に対して

f (mn) = f (m) f (n)

が成り立つとき完全乗法的（completely multiplicative）という．

2 主要な数論的関数

定義 3 (約数関数と約数の和).

正整数

n

に対して

$d (n) = \sum_{d ∣ n} 1$ ： $n$ の正の約数の個数． $σ_{0} (n)$ とも書く．
$σ (n) = \sum_{d ∣ n} d$ ： $n$ の正の約数の和． $σ_{1} (n)$ とも書く．
一般に $σ_{k} (n) = \sum_{d ∣ n} d^{k}$ ．

定理 4.

d

と

σ

は乗法的関数である．

n = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{k}^{e_{k}}

のとき

d (n) = i = 1 \prod k (e_{i} + 1), σ (n) = i = 1 \prod k \frac{p _{i}^{e_{i} + 1} - 1}{p _{i} - 1} .

証明.

乗法性は

g cd (m, n) = 1

のとき

mn

の約数と

m

の約数・

n

の約数の対の全単射から従う．

p^{e}

の約数は

1, p, p^{2}, \dots, p^{e}

なので

d (p^{e}) = e + 1

，

σ (p^{e}) = 1 + p + \dots + p^{e} = (p^{e + 1} - 1) / (p - 1)

． □

定義 5 (メビウス関数).

メビウス関数

μ : Z_{> 0} \to {- 1, 0, 1}

を

μ (n) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 (- 1)^{k} 0 n = 1, n = p_{1} p_{2} \dots p_{k} （相異なる素数の積）, n が平方因子を持つ

と定める．

補題 6.

d ∣ n \sum μ (d) = {10 n = 1, n > 1.

証明.

n = 1

は明らか．

n > 1

のとき

n

の相異なる素因数を

p_{1}, \dots, p_{k}

とする．

μ (d) \neq = 0

なる約数

d

は

{p_{1}, \dots, p_{k}}

の部分集合の積に対応するので

\sum_{d ∣ n} μ (d) = \sum_{j = 0}^{k} (j k) (- 1)^{j} = (1 - 1)^{k} = 0

． □

3 ディリクレ畳み込み

定義 7 (ディリクレ畳み込み).

数論的関数

f, g

のディリクレ畳み込み（Dirichlet convolution）を

(f * g) (n) = d ∣ n \sum f (d) g (n / d)

と定める．

定理 8.

ディリクレ畳み込みは可換かつ結合的であり，単位元は

ε (n) = [n = 1]

（

n = 1

で

1

，他で

0

）である．

f (1) \neq = 0

なる数論的関数

f

はディリクレ逆元

f^{- 1}

（

f * f^{- 1} = ε

）を持つ．

証明.

可換性は

\sum_{d ∣ n} f (d) g (n / d) = \sum_{d ∣ n} f (n / d) g (d)

から明らか（

d \leftrightarrow n / d

の置換）．結合性は

\sum_{ab c = n} f (a) g (b) h (c)

と3重和の形で確認できる．

f * ε = f

は

ε (n / d) = [d = n]

から従う．逆元は

f^{- 1} (1) = 1/ f (1)

，

n > 1

で

f^{- 1} (n) = - \frac{1}{f ( 1 )} \sum_{d ∣ n, d < n} f (n / d) f^{- 1} (d)

と再帰的に定まる． □

注意 9.

2つの乗法的関数のディリクレ畳み込みもまた乗法的である．

1

を恒等的に

1

の関数とすると

μ * 1 = ε

，すなわち

μ

は

1

のディリクレ逆元である．

4 メビウス反転公式

定理 10 (メビウス反転公式).

数論的関数

f, g

に対して

g (n) = d ∣ n \sum f (d) for all n ⟺ f (n) = d ∣ n \sum μ (d) g (n / d) for all n .

証明.

g = f * 1

と

f = g * μ

は，

μ * 1 = ε

からディリクレ畳み込みの結合性を用いて同値に変換できる．

g = f * 1

ならば

g * μ = f * 1 * μ = f * ε = f

．逆に

f = g * μ

ならば

f * 1 = g * μ * 1 = g * ε = g

． □

例 11.

\sum_{d ∣ n} φ (d) = n

が知られている（

1, \dots, n

を

g cd (k, n) = d

ごとに分類すると

φ (n / d)

個）．メビウス反転を適用すると

φ (n) = \sum_{d ∣ n} μ (d) \cdot n / d = n \sum_{d ∣ n} μ (d) / d

．これは

φ (n) = n \prod_{p ∣ n} (1 - 1/ p)

と同値であり，包除原理による導出と一致する．

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数論的関数と乗法的関数 ― 整数の関数たち

1 数論的関数の定義

2 主要な数論的関数

3 ディリクレ畳み込み

4 メビウス反転公式

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