剰余類とラグランジュの定理 ― 有限群論の最も基本的な定理

部分群による剰余類の定義から始め，ラグランジュの定理（部分群の位数は群の位数を割り切る）を証明します．指数の概念，フェルマーの小定理・オイラーの定理への応用，さらに逆が成り立たない例まで丁寧に解説します．

2026年2月27日

1. 導入

有限群 $G$ の部分群 $H$ があるとき， $∣ H ∣$ と $∣ G ∣$ の間にはどんな関係があるだろうか？例えば $∣ S_{3} ∣ = 6$ の部分群の位数を調べると $1, 2, 3, 6$ であり，すべて $6$ の約数になっている．これは偶然ではない．

ラグランジュの定理は，この事実を一般に証明する．その鍵となるのが剰余類（coset）の概念である．

2. 剰余類の定義

定義 1 (左剰余類・右剰余類).

群

G

，部分群

H \leq G

，元

a \in G

に対して

a H H a = {ah ∣ h \in H} （ a を含む H の 左剰余類 ） = {ha ∣ h \in H} （ a を含む H の 右剰余類 ）

と定める．

例 2.

G = S_{3}

，

H = {e, (12)}

（位数

2

の部分群）とする．

S_{3}

の元で左剰余類を作ると：

eH = (12) H (13) H = (123) H (23) H = (132) H = {e, (12)} = {(13), (123)} = {(23), (132)}

3

つの左剰余類が

S_{3}

を分割している．

例 3.

G = (Z, +)

，

H = 3 Z

とする．剰余類は（加法なので

a + H

と書く）：

0 + 3 Z 1 + 3 Z 2 + 3 Z = {\dots, - 6, - 3, 0, 3, 6, \dots} = {\dots, - 5, - 2, 1, 4, 7, \dots} = {\dots, - 4, - 1, 2, 5, 8, \dots}

これは

Z

を

3

で割った余りによる分類に他ならない．「剰余類」の名前の由来である．

3. 剰余類の基本性質

定理 4 (剰余類による分割).

H \leq G

とする．

G

の

H

による左剰余類について，次が成り立つ：

任意の $a \in G$ に対して $a \in a H$ （各元はいずれかの剰余類に属する）
$a H = b H ⟺ a^{- 1} b \in H$
$a H \neq = b H ⟺ a H \cap b H = \emptyset$ （異なる剰余類は共通部分を持たない）
すべての左剰余類は同じ濃度を持つ： $∣ a H ∣ = ∣ H ∣$

したがって，左剰余類全体は

G

の分割（partition）をなす．

証明.

(1)

a = a e \in a H

．

(2)

a H = b H

ならば

b = b e \in b H = a H

より

b = ah

（ある

h \in H

）．よって

a^{- 1} b = h \in H

．逆に

a^{- 1} b = h \in H

ならば

b = ah

であり，任意の

b h^{'} = ah h^{'} \in a H

（

h h^{'} \in H

なので）．よって

b H \subseteq a H

．同様に

a = b h^{- 1}

から

a H \subseteq b H

．

(3)

a H \cap b H \neq = \emptyset

とする．

c \in a H \cap b H

ならば

c = a h_{1} = b h_{2}

（

h_{1}, h_{2} \in H

）．よって

a^{- 1} b = h_{1} h_{2}^{- 1} \in H

，(2) より

a H = b H

．対偶を取れば (3) が得られる．

(4) 写像

f : H \to a H

，

f (h) = ah

は全単射である（全射は定義から，単射は消約法則から）． □

定義 5 (同値関係としての定式化).

H \leq G

に対して，

G

上の関係

\sim

を

a \sim b ⟺ a^{- 1} b \in H

で定めると，

\sim

は同値関係であり，

a

の同値類は

a H

に等しい．

証明.

反射律：

a^{- 1} a = e \in H

．対称律：

a^{- 1} b \in H \Rightarrow (a^{- 1} b)^{- 1} = b^{- 1} a \in H

．推移律：

a^{- 1} b, b^{- 1} c \in H \Rightarrow a^{- 1} c = (a^{- 1} b) (b^{- 1} c) \in H

． □

4. ラグランジュの定理

定義 6 (指数).

H \leq G

に対して，

H

の左剰余類の個数を

H

の

G

における指数（index）といい，

[G : H]

と書く．

定理 7 (ラグランジュの定理).

G

を有限群，

H \leq G

とする．このとき

∣ G ∣ = [G : H] \cdot ∣ H ∣

が成り立つ．特に

∣ H ∣

は

∣ G ∣

の約数である．

証明.

左剰余類

a_{1} H, a_{2} H, \dots, a_{k} H

（

k = [G : H]

）は

G

の分割をなす：

G = a_{1} H ⊔ a_{2} H ⊔ \dots ⊔ a_{k} H （互いに素な和集合）

各剰余類の濃度は

∣ H ∣

であるから

∣ G ∣ = k \cdot ∣ H ∣ = [G : H] \cdot ∣ H ∣.

□

注意 8.

証明の本質は「

G

を

H

のコピーに切り分けられる」ことにある．各ピースの大きさが

∣ H ∣

で，ピースの数が

[G : H]

であるから，全体の大きさはそれらの積になる．

5. ラグランジュの定理の系

ラグランジュの定理から，多くの重要な結果が従う．

定理 9 (元の位数は群の位数を割る).

有限群

G

の元

a

に対して

ord (a)

は

∣ G ∣

を割り切る．特に

a^{∣ G ∣} = e

．

証明.

ord (a) = ∣ ⟨ a ⟩ ∣

であり，

⟨ a ⟩ \leq G

なのでラグランジュの定理より

ord (a) ∣ ∣ G ∣

．

∣ G ∣ = ord (a) \cdot m

と書けば

a^{∣ G ∣} = (a^{ord (a)})^{m} = e^{m} = e

． □

定理 10 (素数位数の群).

∣ G ∣ = p

（

p

は素数）ならば

G

は巡回群であり，

G ≅ Z / p Z

である．

証明.

e \neq = a \in G

を取る．

ord (a)

は

∣ G ∣ = p

の約数なので

1

または

p

．

a \neq = e

より

ord (a) \neq = 1

，よって

ord (a) = p

．すなわち

⟨ a ⟩ = G

． □

注意 11.

これは強力な結果である：位数が素数の群は構造が完全に決まる．位数

2, 3, 5, 7, 11, \dots

の群はすべて巡回群であり，それぞれ本質的に1種類しかない．

定理 12 (フェルマーの小定理).

p

を素数，

a

を

p

と互いに素な整数とする．このとき

a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)

．

証明.

(Z / p Z)^{\times} = {\overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{2}, \dots, \overline{p - 1}}

は乗法に関して位数

p - 1

の群である（

p

が素数なので

0

以外の元はすべて逆元を持つ）．

g cd (a, p) = 1

より

\overset{a}{ˉ} \in (Z / p Z)^{\times}

．ラグランジュの定理の系より

\overset{a}{ˉ}^{p - 1} = \overset{ˉ}{1}

，すなわち

a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)

． □

定理 13 (オイラーの定理).

n

を正整数，

a

を

n

と互いに素な整数とする．このとき

a^{φ (n)} \equiv 1 (mod n)

．ここで

φ (n)

はオイラー関数（

1

以上

n

以下で

n

と互いに素な整数の個数）．

証明.

(Z / n Z)^{\times} = {\overset{a}{ˉ} ∣ g cd (a, n) = 1}

は乗法に関して位数

φ (n)

の群である．ラグランジュの定理の系より

\overset{a}{ˉ}^{φ (n)} = \overset{ˉ}{1}

． □

注意 14.

フェルマーの小定理はオイラーの定理で

n = p

（素数）とした特殊ケースである：

φ (p) = p - 1

．これらの整数論の古典的定理が，群論のラグランジュの定理という一つの定理から統一的に導かれるのは，抽象代数学の威力を示す好例である．

6. ラグランジュの定理の逆は成り立たない

定理 15 (ラグランジュの定理の逆の反例).

d ∣ ∣ G ∣

であっても，

G

が位数

d

の部分群を持つとは限らない．

例 16.

A_{4}

（

4

次交代群，位数

12

）を考える．

6 ∣ 12

だが，

A_{4}

は位数

6

の部分群を持たない．

これを示すために，

A_{4}

の元を列挙する：

恒等置換 $e$ （ $1$ 個）
$3$ -巡回置換 $(ab c)$ （ $8$ 個）： $(123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243)$
互換の積 $(ab) (c d)$ （ $3$ 個）： $(12) (34), (13) (24), (14) (23)$

合計

12

個（

= 4! /2

）．

位数

6

の部分群

H

が存在すると仮定する．

[A_{4} : H] = 2

であるから，

H

は

A_{4}

の正規部分群である（指数

2

の部分群は常に正規 ― 後の記事で証明）．

8

個の

3

-巡回置換はすべて位数

3

であり，

⟨(ab c)⟩

は位数

3

の部分群を生成する．

∣ H ∣ = 6

なので

3 ∣ 6

より，

H

がこれらの巡回部分群を含む可能性がある．しかし

8

個の

3

-巡回置換のうち

H

に属するものを数えると，

H

に含まれる位数

3

の部分群は高々

2

つ（

4

元）なので，

e

とこの

4

元に

(12) (34)

タイプを加えても最大

4 + 3 = 7

元で整合しない．

より直接的には：

H

が正規なので，

A_{4}

の共役類は

H

に完全に含まれるか

H

と交わらないかのいずれかである．

A_{4}

の共役類は

{e}

（

1

個），

{(12) (34), (13) (24), (14) (23)}

（

3

個），

{(123), (124), (134), (234)}

（

4

個），

{(132), (142), (143), (243)}

（

4

個）である．

∣ H ∣ = 6

を

1 + 3 + 4 + 4

の部分和で実現できない（

1 + 3 = 4

，

1 + 4 = 5

，

1 + 3 + 4 = 8

）ので矛盾．

注意 17.

ただし，

G

が有限アーベル群の場合は逆も成り立つ：

d ∣ ∣ G ∣

ならば位数

d

の部分群が存在する（有限アーベル群の構造定理から従う）．また，

p^{k} ∣ ∣ G ∣

（

p

は素数）の場合は非可換群でもシローの定理により位数

p^{k}

の部分群の存在が保証される．

7. 指数に関する定理

定理 18 (指数の乗法性).

K \leq H \leq G

で

[G : K]

が有限ならば

[G : K] = [G : H] \cdot [H : K]

証明.

G

の

H

による左剰余類を

a_{1} H, \dots, a_{m} H

（

m = [G : H]

），

H

の

K

による左剰余類を

b_{1} K, \dots, b_{n} K

（

n = [H : K]

）とする．

G = ⨆_{i} a_{i} H = ⨆_{i} a_{i} ⨆_{j} b_{j} K = ⨆_{i, j} a_{i} b_{j} K

なので

{a_{i} b_{j} K}

が

G

の

K

による左剰余類の全体を与え，

[G : K] = mn

．

a_{i} b_{j} K

がすべて異なることの確認：

a_{i} b_{j} K = a_{i^{'}} b_{j^{'}} K

ならば

a_{i} b_{j}

と

a_{i^{'}} b_{j^{'}}

は同じ

K

-剰余類に属する．すると

a_{i} b_{j} (a_{i^{'}} b_{j^{'}})^{- 1} = a_{i} b_{j} b_{j^{'}}^{- 1} a_{i^{'}}^{- 1} \in K \subseteq H

より

a_{i} H = a_{i^{'}} H

，すなわち

i = i^{'}

．よって

a_{i} = a_{i^{'}}

であり，

b_{j} K = b_{j^{'}} K

から

j = j^{'}

． □

定理 19 (部分群の共通部分と指数).

H, K \leq G

とする．

[G : H]

と

[G : K]

がともに有限ならば

[G : H \cap K] \leq [G : H] \cdot [G : K]

等号は

[G : H]

と

[G : K]

が互いに素のとき成り立つ．

証明.

写像

ψ : G / (H \cap K) \to G / H \times G / K

，

a (H \cap K) \mapsto (a H, a K)

は well-defined かつ単射（

a H = b H

かつ

a K = b K

ならば

a^{- 1} b \in H \cap K

）．よって

[G : H \cap K] \leq [G : H] [G : K]

．

g cd ([G : H], [G : K]) = 1

のとき：

[G : H] ∣ [G : H \cap K]

かつ

[G : K] ∣ [G : H \cap K]

（指数の乗法性と

H \cap K \leq H, K

より），互いに素なので

[G : H] [G : K] ∣ [G : H \cap K]

．逆の不等式と合わせて等号． □

8. 右剰余類と両側剰余類

注意 20 (左と右).

一般に

a H \neq = H a

である（つまり左剰余類と右剰余類は異なりうる）．しかし，左剰余類の個数と右剰余類の個数は常に等しい．

定理 21.

[G : H]_{L} = [G : H]_{R}

（左剰余類の数

=

右剰余類の数）．

証明.

写像

a H \mapsto H a^{- 1}

は左剰余類全体から右剰余類全体への全単射を与える．

a H = b H ⟺ a^{- 1} b \in H ⟺ b^{- 1} a \in H ⟺ H a^{- 1} = H b^{- 1}

より well-defined かつ単射，全射は明らか． □

定義 22 (正規部分群（予告）).

H \leq G

に対して，すべての

a \in G

で

a H = H a

が成り立つとき，

H

を

G

の正規部分群（normal subgroup）といい，

H ⊴ G

と書く．正規部分群の場合，左剰余類と右剰余類は一致し，剰余類の集合に自然に群構造を入れることができる（商群）．

9. 計算例

例 23 (

D_{4}

と

⟨ r^{2} ⟩

二面体群

D_{4} = {e, r, r^{2}, r^{3}, s, rs, r^{2} s, r^{3} s}

（位数

8

）の部分群

H = ⟨ r^{2} ⟩ = {e, r^{2}}

（位数

2

）を考える．

左剰余類：

eH sH = {e, r^{2}}, = {s, r^{2} s}, rH rsH = {r, r^{3}}, = {rs, r^{3} s}

4

つの剰余類が

D_{4}

を分割し，

[D_{4} : H] = 4

．確認：

∣ D_{4} ∣ = 8 = 4 \cdot 2 = [D_{4} : H] \cdot ∣ H ∣

．

例 24 (

S_{4}

と

A_{4}

A_{4} \leq S_{4}

，

∣ A_{4} ∣ = 12

，

∣ S_{4} ∣ = 24

であるから

[S_{4} : A_{4}] = 2

．左剰余類は

A_{4}

（偶置換全体）と

(12) A_{4}

（奇置換全体）の

2

つだけである．

例 25 (

Z

と

n Z

[Z : n Z] = n

．剰余類は

0 + n Z, 1 + n Z, \dots, (n - 1) + n Z

であり，これが剰余類の加法群

Z / n Z

になる．

10. まとめと次のステップ

本記事で扱った内容：

左剰余類・右剰余類の定義と，群の分割をなすこと
ラグランジュの定理： $∣ G ∣ = [G : H] \cdot ∣ H ∣$
系：元の位数は群の位数を割る，素数位数の群は巡回群
応用：フェルマーの小定理，オイラーの定理
ラグランジュの定理の逆は一般には成り立たない（ $A_{4}$ の反例）
指数の乗法性と部分群の共通部分に関する不等式

ラグランジュの定理は「部分群の位数には制約がある」ことを教えてくれるが，「位数の約数ごとに部分群が存在するか」には答えない．この逆方向の問いに（部分的に）答えるのがシローの定理であり，その前段として正規部分群と商群の理論が必要になる．

群論代数学教科書ラグランジュの定理剰余類フェルマーの小定理

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剰余類とラグランジュの定理 ― 有限群論の最も基本的な定理

1. 導入

2. 剰余類の定義

3. 剰余類の基本性質

4. ラグランジュの定理

5. ラグランジュの定理の系

6. ラグランジュの定理の逆は成り立たない

7. 指数に関する定理

8. 右剰余類と両側剰余類

9. 計算例

10. まとめと次のステップ

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