Jordan標準形 ― 対角化の先にある標準形

対角化できない行列に対する標準形としてJordan標準形を導入する．一般化固有空間，Jordan細胞の定義，最小多項式との関係，行列指数関数 e^{tA} の計算まで展開する．

2026年2月27日

1 動機 — 対角化の限界

すべての行列が対角化できるわけではない．例えば $A = (2012)$ は固有値 $2$ の代数的重複度が $2$ だが幾何的重複度が $1$ であり，対角化できない．

しかし，対角化できない行列にも「最も簡単な形」は存在する．それがJordan標準形である．

2 Jordan 細胞

定義 1 (Jordan 細胞).

λ \in K

と正整数

k

に対して

J_{k} (λ) = λ O 1 λ 1 ⋱ O 1 λ \in M_{k} (K)

を

k

次のJordan 細胞（Jordan block）という．対角成分はすべて

λ

，上対角成分はすべて

1

，その他は

0

である．

例 2.

J_{1} (λ) = (λ)

，

J_{2} (λ) = (λ 0 1 λ)

，

J_{3} (λ) = λ 00 1 λ 0 01 λ

．

注意 3.

J_{1} (λ) = (λ)

は

1 \times 1

対角行列である．つまり対角行列は，すべての Jordan 細胞が

1 \times 1

である場合に相当する．

3 一般化固有空間

定義 4 (一般化固有空間).

λ

を

A

の固有値，代数的重複度を

m

とする．

W_{λ} = ker (A - λ I)^{m}

を

λ

の一般化固有空間（generalized eigenspace）という．

定理 5.

dim W_{λ} = m

（代数的重複度に等しい）．

定理 6.

A

の相異なる固有値を

λ_{1}, \dots, λ_{s}

とし，各代数的重複度を

m_{1}, \dots, m_{s}

とすると

K^{n} = W_{λ_{1}} \oplus W_{λ_{2}} \oplus \dots \oplus W_{λ_{s}}

（一般化固有空間の直和分解）．

4 Jordan 標準形の存在

定理 7 (Jordan 標準形).

K

が代数的閉体（特に

K = C

）のとき，任意の

n

次正方行列

A

に対して，ある正則行列

P

が存在して

P^{- 1} A P = J_{k_{1}} (λ_{1}) O J_{k_{2}} (λ_{2}) O ⋱ J_{k_{r}} (λ_{r})

となる．この右辺を

A

のJordan 標準形（Jordan normal form）という．各 Jordan 細胞の順序を除いて，Jordan 標準形は

A

によって一意に定まる．

例 8.

A = 50 - 1 1 41 - 1 1 2 - 1 3 - 1 1 - 1 02

の固有多項式が

(λ - 1)^{2} (λ - 3)^{2}

であるとする．固有値

λ = 1

（代数的重複度

2

），

λ = 3

（代数的重複度

2

）．

もし

dim V_{1} = 1

，

dim V_{3} = 1

ならば Jordan 標準形は

J = 1000110000300013

もし

dim V_{1} = 2

，

dim V_{3} = 1

ならば

J = 1000010000300013

5 最小多項式

定義 9 (最小多項式).

A

を零化する（

f (A) = O

を満たす）モニック多項式のうち次数最小のものを

A

の最小多項式（minimal polynomial）

m_{A} (λ)

という．

定理 10.

最小多項式は固有多項式を割り切る
最小多項式と固有多項式は同じ根（固有値）を持つ
$A$ が対角化可能 $⟺$ $m_{A} (λ)$ が重根を持たない

定理 11.

最小多項式は Jordan 標準形から決定できる：各固有値

λ_{i}

について，最大の Jordan 細胞のサイズを

k_{i}

とすると

m_{A} (λ) = i = 1 \prod s (λ - λ_{i})^{k_{i}}

例 12.

J = 2000120000200003

のとき，固有値

2

の最大 Jordan 細胞は

2 \times 2

，固有値

3

は

1 \times 1

．よって

m_{A} (λ) = (λ - 2)^{2} (λ - 3)

．固有多項式は

p_{A} (λ) = (λ - 2)^{3} (λ - 3)

．

6 行列指数関数

定義 13 (行列指数関数).

A

を

n

次正方行列とする．

e^{A} = k = 0 \sum \infty \frac{A ^{k}}{k !} = I + A + \frac{A ^{2}}{2 !} + \frac{A ^{3}}{3 !} + \dots

を

A

の行列指数関数（matrix exponential）という．

定理 14.

Jordan 細胞の行列指数関数は

e^{t J_{k} (λ)} = e^{λ t} 10 ⋮ 00 t 1 \frac{t ^{2}}{2 !} t ⋱ \dots \dots \dots \dots ⋱ 10 \frac{t ^{k - 1}}{( k - 1 )!} \frac{t ^{k - 2}}{( k - 2 )!} ⋮ t 1

証明.

J_{k} (λ) = λ I + N

（

N

は冪零行列，

N^{k} = O

）と分解する．

λ I

と

N

は可換なので

e^{t J_{k} (λ)} = e^{λ t I} e^{tN} = e^{λ t} e^{tN}

．

N^{k} = O

より

e^{tN}

は有限和で計算できる． □

例 15.

連立微分方程式

x^{'} (t) = A x (t)

の解は

x (t) = e^{t A} x (0)

．

A = P J P^{- 1}

のとき

e^{t A} = P e^{t J} P^{- 1}

．

A = (2012) = J_{2} (2)

のとき

e^{t A} = e^{2 t} (10 t 1)

x (0) = (11)

ならば

x (t) = e^{2 t} (1 + t 1)

．

注意 16.

Jordan 標準形は対角化の自然な一般化であり，対角化できない行列に対しても行列のべき乗・行列指数関数を体系的に計算する枠組みを提供する．対角行列が「各方向への伸縮」を表すのに対して，Jordan 細胞は「伸縮

+

微小なずれ」を表す．このずれが，

e^{t J_{k} (λ)}

に現れる

t

の多項式因子として反映されている．

線形代数代数学教科書 Jordan標準形最小多項式行列指数関数

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Jordan標準形 ― 対角化の先にある標準形

1 動機 — 対角化の限界

2 Jordan 細胞

3 一般化固有空間

4 Jordan 標準形の存在

5 最小多項式

6 行列指数関数

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