Series

線形代数の教科書

ベクトル空間の公理からJordan標準形まで．定義・定理・証明を体系的に積み上げる教科書シリーズ．

線形代数の全体像を一記事で．ベクトル空間の公理からJordan標準形まで，学部線形代数に必要な定義・定理・証明を体系的にまとめた．各トピックの依存関係図付き．

ベクトル空間の8つの公理から出発し，零ベクトルの一意性，スカラー倍の基本性質を証明する．さらに部分空間の判定法，和空間・直和の定義まで，線形代数の土台を一つずつ積み上げる教科書スタイルの解説．

線形結合と線形独立の定義から出発し，基底の存在と一意性（Steinitz交換定理），次元の well-definedness を証明する．生成系・線形独立系・基底の関係を明確にする教科書スタイルの解説．

線形写像の定義から出発し，核と像の定義，次元定理（rank-nullity theorem）を証明する．単射・全射との対応，線形写像の空間 Hom(V,W) まで体系的に解説する．

線形写像の表現行列の定義から出発し，基底変換公式 P^{-1}AP，行列の階数と線形写像の階数の一致，正則行列と逆行列の理論を展開する．

連立一次方程式 Ax=b を行列の言葉で定式化し，行基本変形と RREF の理論，解空間の構造（特殊解＋核）を体系的に証明する．

置換を用いた行列式の定義から出発し，交代性・多重線形性を証明する．余因子展開，積公式 det(AB)=det(A)det(B)，クラメルの公式まで体系的に展開する．

固有値・固有ベクトルの定義，固有多項式，固有空間，代数的・幾何的重複度を定義し，ケーリー・ハミルトンの定理を証明する．

対角化可能の定義と必要十分条件を証明し，対角化の手順を体系的に解説する．A^n の計算法と三角化への拡張も扱う．

内積の公理的定義から出発し，Cauchy-Schwarz不等式，Gram-Schmidtの正規直交化法を証明する．直交補空間と正射影の理論を体系的に展開する．

対角化できない行列に対する標準形としてJordan標準形を導入する．一般化固有空間，Jordan細胞の定義，最小多項式との関係，行列指数関数 e^{tA} の計算まで展開する．