行列式 ― 正方行列に定まるスカラー量

置換を用いた行列式の定義から出発し，交代性・多重線形性を証明する．余因子展開，積公式 det(AB)=det(A)det(B)，クラメルの公式まで体系的に展開する．

2026年2月27日

1 置換と符号

定義 1 (置換).

{1, 2, \dots, n}

の全単射

σ : {1, \dots, n} \to {1, \dots, n}

を

n

次の置換という．

n

次置換全体のなす群を

S_{n}

と書く．

∣ S_{n} ∣ = n!

である．

定義 2 (互換と符号).

2つの元だけを入れ替え他を固定する置換を互換という．任意の置換は互換の積で書ける．置換

σ

が偶数個の互換の積で書けるとき

sgn (σ) = + 1

，奇数個のとき

sgn (σ) = - 1

と定め，

sgn (σ)

を

σ

の符号という．

定理 3.

sgn (σ τ) = sgn (σ) \cdot sgn (τ)

が成り立つ．

証明.

σ

が

p

個の互換の積，

τ

が

q

個の互換の積で書けるとすると，

σ τ

は

p + q

個の互換の積で書ける．

sgn (σ) = (- 1)^{p}

，

sgn (τ) = (- 1)^{q}

であるから

sgn (σ τ) = (- 1)^{p + q} = (- 1)^{p} (- 1)^{q} = sgn (σ) \cdot sgn (τ)

． □

2 行列式の定義

定義 4 (行列式).

n

次正方行列

A = (a_{ij})

の行列式を

det A = σ \in S_{n} \sum sgn (σ) i = 1 \prod n a_{i, σ (i)}

と定義する．

例 5.

n = 2

：

det (a c b d) = a d - b c

．

n = 3

（サラスの方法）：

det a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}

3 基本性質

定理 6 (行列式の基本性質).

行列式は行（および列）について次の性質を持つ：

多重線形性：各行について線形である
交代性：2つの行を入れ替えると符号が変わる
正規化： $det I_{n} = 1$

証明.

(1) 多重線形性：

A

の第

i

行を

a_{i} = c a_{i}^{'} + d a_{i}^{''}

としたとき，定義式

det A = \sum_{σ} sgn (σ) \prod_{k} a_{k, σ (k)}

において第

i

因子のみが変わり，積の線形性から

det A = c det A^{'} + d det A^{''}

が成り立つ（

A^{'}, A^{''}

はそれぞれ第

i

行を

a_{i}^{'}, a_{i}^{''}

に置き換えた行列）．

(2) 交代性：第

i

行と第

j

行を交換した行列を

A^{'}

とする．

A^{'}

の

(k, l)

成分は

k = i, j

のとき入れ替わり，他はそのまま．定義式で互換

(ij)

を用いた置換の付け替え

σ \mapsto σ \circ (ij)

により

det A^{'} = - det A

が示される．

(3) 正規化：

I_{n}

の

(i, σ (i))

成分は

σ = id

のとき全て

1

，

σ \neq = id

のとき少なくとも一つの因子が

0

となるので

det I_{n} = sgn (id) \cdot 1 = 1

． □

定理 7.

以下が成り立つ：

2つの行が等しければ $det A = 0$
ある行が零ベクトルならば $det A = 0$
ある行に別の行のスカラー倍を加えても行列式は変わらない
ある行を $c$ 倍すると行列式は $c$ 倍になる
$det A^{T} = det A$

証明.

(1) 2行が等しい行列で行交換すると元に戻る．交代性より

det A = - det A

なので

det A = 0

．

(2) 多重線形性で

c = 0

とおけばよい．

(3)

R_{i} \to R_{i} + c R_{j}

の変換で，多重線形性と (1) より

det

は不変．

(4) 多重線形性から直ちに従う．

(5) 定義式で

σ

を

σ^{- 1}

に置き換えれば得られる． □

4 余因子展開

定義 8 (余因子).

A

から第

i

行と第

j

列を除いた

(n - 1) \times (n - 1)

小行列の行列式を

M_{ij}

（小行列式）とし，

\tilde{a}_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}

を

(i, j)

余因子という．

定理 9 (余因子展開).

任意の

i

について（第

i

行展開）：

det A = j = 1 \sum n a_{ij} \tilde{a}_{ij}

任意の

j

について（第

j

列展開）：

det A = i = 1 \sum n a_{ij} \tilde{a}_{ij}

証明.

第

i

行展開を示す．定義式

det A = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \prod_{k = 1}^{n} a_{k, σ (k)}

を

σ (i) = j

ごとにまとめる．

σ (i) = j

を固定すると，残りの対応

{1, \dots, n} ∖ {i} \to {1, \dots, n} ∖ {j}

は

(n - 1)

次の置換

σ^{'}

と見なせる．

sgn (σ) = (- 1)^{i + j} sgn (σ^{'})

であることが互換による移動回数から確かめられる．よって

det A = j = 1 \sum n a_{ij} (- 1)^{i + j} σ^{'} \sum sgn (σ^{'}) k \neq = i \prod a_{k, σ^{'} (k)} = j = 1 \sum n a_{ij} (- 1)^{i + j} M_{ij} = j = 1 \sum n a_{ij} \tilde{a}_{ij}

列展開は

det A = det A^{T}

と行展開を組み合わせて得られる． □

例 10.

A = 201 1 - 1 0 321

の第1行展開：

det A = 2 \cdot det (- 1 0 21) - 1 \cdot det (0121) + 3 \cdot det (01 - 1 0)

= 2 (- 1) - 1 (- 2) + 3 (1) = - 2 + 2 + 3 = 3

5 積公式

定理 11 (行列式の積公式).

n

次正方行列

A, B

に対して

det (A B) = det A \cdot det B

証明.

det A = 0

のとき，

A

は正則でないので

rank (A B) \leq rank A < n

．よって

A B

も正則でなく，

det (A B) = 0 = det A \cdot det B

．

det A \neq = 0

のとき，

A

は基本行列の積

A = E_{1} E_{2} \dots E_{k}

と書ける．各基本行列について

det (E_{i} B) = det E_{i} \cdot det B

が基本性質から確かめられる．帰納法で

det (A B) = det A \cdot det B

． □

定理 12.

A

が正則

⟺

det A \neq = 0

．正則のとき

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

．

証明.

A

が正則ならば

A A^{- 1} = I

であり，積公式より

det A \cdot det (A^{- 1}) = det I = 1

．よって

det A \neq = 0

かつ

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

．

逆に

det A \neq = 0

のとき，

A

が正則でないと仮定すると

rank A < n

であり，

A

の列ベクトルは線形従属である．このとき行基本変形で少なくとも1つの零行が現れるので

det A = 0

となり矛盾．よって

A

は正則である． □

6 クラメルの公式

定理 13 (クラメルの公式).

n

次正方行列

A

が正則のとき，

A x = b

の解は

x_{i} = \frac{det A _{i}}{det A} (i = 1, \dots, n)

で与えられる．ここで

A_{i}

は

A

の第

i

列を

b

で置き換えた行列である．

証明.

A x = b

の解は

x = A^{- 1} b

である．

A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} \tilde{A}^{T}

（

\tilde{A}

は余因子行列）を用いると

x_{i} = \frac{1}{det A} j = 1 \sum n \tilde{a}_{ji} b_{j} = \frac{1}{det A} det A_{i}

最後の等号は

det A_{i}

が第

i

列を

b

で置き換えた行列の第

i

列展開に一致することによる． □

定理 14 (逆行列の公式).

正則行列

A

の逆行列は

A^{- 1} = \frac{1}{det A} \tilde{A}^{T}

で与えられる（

\tilde{A}^{T}

は余因子行列の転置）．

証明.

\tilde{A}^{T} = (\tilde{a}_{ji})

を余因子行列の転置とする．

A \tilde{A}^{T}

の

(i, k)

成分を計算すると

(A \tilde{A}^{T})_{ik} = j = 1 \sum n a_{ij} \tilde{a}_{kj}

i = k

のとき，これは第

i

行による余因子展開そのものであり

det A

に等しい．

i \neq = k

のとき，これは

A

の第

k

行を第

i

行で置き換えた行列の行列式であり，同じ行が2つあるので

0

である．よって

A \tilde{A}^{T} = (det A) I

．

det A \neq = 0

より

A \cdot \frac{1}{d e t A} \tilde{A}^{T} = I

．同様に

\frac{1}{d e t A} \tilde{A}^{T} \cdot A = I

も示せるので，

A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} \tilde{A}^{T}

． □

行列式 ― 正方行列に定まるスカラー量

1 置換と符号

2 行列式の定義

3 基本性質

4 余因子展開

5 積公式

6 クラメルの公式

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