1. はじめに：この記事の使い方
この記事は，学部レベルの線形代数（教科書1冊分）を 一記事で俯瞰する ことを目的とする．各トピックについて，定義・主要定理・証明スケッチを簡潔にまとめる．
使い方 ：
初学者 → セクション順に読み進め，線形代数の全体像を掴むとよい
復習・試験対策 → 目次から必要なセクションへジャンプされたい
定理の確認 → セクション13「線形代数の定理一覧」で主要定理を一覧できる
以下の依存関係図は，各トピックがどのように繋がっているかを示す．
graph TD
A["ベクトル空間の公理"] --> B["線形独立・基底・次元"]
B --> C["線形写像"]
C --> D["行列と表現行列"]
D --> E["連立方程式と掃き出し法"]
D --> F["行列式"]
C --> G["核と像・次元定理"]
F --> H["固有値と固有ベクトル"]
D --> H
H --> I["対角化"]
A --> J["内積空間"]
B --> J
J --> K["正規直交基底・Gram-Schmidt"]
K --> L["直交射影・最小二乗法"]
H --> M["Jordan標準形"]
I --> M
style A fill:#f5f5f5,stroke:#333,color:#000
style H fill:#f5f5f5,stroke:#333,color:#000
style I fill:#f5f5f5,stroke:#333,color:#000
style M fill:#f5f5f5,stroke:#333,color:#000
2. ベクトル空間
体 K 上の ベクトル空間 （vector space）とは，集合 V に加法 + : V × V → V とスカラー倍 ⋅ : K × V → V が定義され，以下の8条件を満たすものをいう：
u + v = v + u （加法の可換性）
( u + v ) + w = u + ( v + w ) （加法の結合性）
零ベクトル 0 が存在して v + 0 = v
各 v に対し v + ( − v ) = 0 なる − v が存在
a ( b v ) = ( ab ) v （スカラー倍の結合性）
1 ⋅ v = v
a ( u + v ) = a u + a v （分配法則1）
( a + b ) v = a v + b v （分配法則2）
0 , 0 ′ がともに零ベクトルとすると 0 ′ = 0 ′ + 0 = 0 ． □
(1) 0 ⋅ v = 0 (2) a ⋅ 0 = 0 (3) ( − 1 ) v = − v (4) a v = 0 ⇒ a = 0 or v = 0
基本的なベクトル空間の例 ：
W ⊆ V が V の 部分空間 ⟺ (i) W = ∅ ，(ii) u , v ∈ W ⇒ u + v ∈ W ，(iii) a ∈ K , v ∈ W ⇒ a v ∈ W ．
W 1 + W 2 = { w 1 + w 2 ∣ w i ∈ W i } ．分解が一意のとき 直和 W 1 ⊕ W 2 と書く． W 1 + W 2 が直和 ⟺ W 1 ∩ W 2 = { 0 } ．
dim ( W 1 + W 2 ) = dim W 1 + dim W 2 − dim ( W 1 ∩ W 2 ) ．特に直和のとき dim ( W 1 ⊕ W 2 ) = dim W 1 + dim W 2 ．
→ 詳しくは ：
https://interconnectd.app/articles/XKUcVxVpm96fyiss2Hc2
3. 線形独立・基底・次元
a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n （ a i ∈ K ）を v 1 , … , v n の 線形結合 という．全線形結合の集合を span { v 1 , … , v n } と書く．
a 1 v 1 + ⋯ + a n v n = 0 ⇒ a 1 = ⋯ = a n = 0 のとき 線形独立 （linearly independent）という．線形独立でないとき 線形従属 という．
v 1 , … , v n が線形従属 ⟺ ある v k が残りの線形結合で書ける．
V を生成する線形独立なベクトルの組を V の 基底 （basis）という．基底による v = ∑ a i v i の表示は一意であり， ( a 1 , … , a n ) を 座標 という．
{ v 1 , … , v m } が V を生成し， { w 1 , … , w n } が線形独立ならば n ≤ m が成り立つ．さらに v のうち n 個を w 1 , … , w n で置き換えても V を生成する．
w 1 = ∑ c j v j （ c 1 = 0 としてよい）より v 1 を w 1 で置き換えても V を生成する． w 2 , w 3 , … について順に繰り返す． n > m ならば m ステップで v が尽き， w m + 1 が { w 1 , … , w m } の線形結合になり，線形独立性に矛盾． □
V の任意の2つの基底は同じ元数を持つ．この共通の値を V の 次元 dim V という．
dim V = n のとき：(1) n 本の線形独立ベクトルは基底をなす．(2) V を生成する n 本のベクトルは基底をなす．(3) 線形独立なベクトルは高々 n 本．
dim R n = n ， dim K [ x ] ≤ n = n + 1 ， dim M m × n ( K ) = mn ．
→ 詳しくは ：
https://interconnectd.app/articles/60CGnmYq9I4i544n0Ekf
4. 線形写像
写像 T : V → W が 線形写像 （linear map） ⟺ T ( a u + b v ) = a T ( u ) + b T ( v ) （ ∀ a , b ∈ K ， ∀ u , v ∈ V ）．
{ v 1 , … , v n } を V の基底とする．任意の w 1 , … , w n ∈ W に対して， T ( v i ) = w i を満たす線形写像 T : V → W がただ一つ存在する．
ker T Im T = { v ∈ V ∣ T ( v ) = 0 } （核， null space ） = { T ( v ) ∣ v ∈ V } （像， range ）
ker T は V の部分空間， Im T は W の部分空間である．
( ⇒ ) v ∈ ker T ⇒ T ( v ) = 0 = T ( 0 ) ．単射より v = 0 ． ( ⇐ ) T ( u ) = T ( v ) ⇒ T ( u − v ) = 0 ⇒ u − v ∈ ker T = { 0 } ⇒ u = v ． □
V を有限次元， T : V → W を線形写像とすると dim V = dim ker T + dim Im T
ker T の基底 { u 1 , … , u r } を V の基底 { u 1 , … , u r , v 1 , … , v s } に拡張する（ r + s = dim V ）． { T ( v 1 ) , … , T ( v s )} が Im T の基底であることを示せばよい． □
T : R 3 → R 2 ， T ( x , y , z ) = ( x + y , y + z ) ． ker T = {( t , − t , t )} （ dim = 1 ）．次元定理より dim Im T = 3 − 1 = 2 ，よって T は全射．
線形写像 T が全単射のとき 同型写像 （isomorphism）という． V ≅ W ⟺ dim V = dim W （有限次元の場合）．
→ 詳しくは ：
https://interconnectd.app/articles/SFDhguL9ylKeZcNfUkpH
5. 行列と表現行列
V の基底 B = { v 1 , … , v n } ， W の基底 C = { w 1 , … , w m } に対して T ( v j ) = ∑ i = 1 m a ij w i で定まる行列 A = ( a ij ) を 表現行列 [ T ] B C という．第 j 列は T ( v j ) の座標ベクトルである．
T : V → W ， S : W → U の表現行列をそれぞれ A , B とすると [ S ∘ T ] = B A ．すなわち，合成は行列の積に対応する．
B から B ′ への変換行列 P について， v j ′ = ∑ p ij v i とする．
T : V → V の基底 B に関する表現行列 A と，基底 B ′ に関する表現行列 A ′ は A ′ = P − 1 A P
の関係にある（ P は B から B ′ への変換行列）．
v の B 座標を x ， B ′ 座標を x ′ とすると x = P x ′ ． A x の B ′ 座標は P − 1 A P x ′ ． □
A ′ = P − 1 A P が成り立つとき A と A ′ は 相似 （similar）という．相似な行列は同じ固有値・行列式・トレース・階数を持つ．
列階数（列ベクトルが生成する空間の次元） = 行階数（行ベクトルが生成する空間の次元）．この共通の値を rank A と書く．
n 次正方行列 A について以下は同値：
A は正則（逆行列が存在）
rank A = n
det A = 0
A x = 0 の解は x = 0 のみ
A の列ベクトルは線形独立
A の RREF は I n
A , B が正則のとき ( A − 1 ) − 1 = A ， ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 ， ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T ．
→ 詳しくは ：
https://interconnectd.app/articles/zAohbXbfQH3TpM4HzSHc
6. 連立一次方程式と掃き出し法
m 個の方程式， n 個の未知数からなる連立一次方程式を A x = b （ A ∈ M m × n ( K ) ）と書く．
(1) 行の交換 R i ↔ R j ，(2) 行のスカラー倍 R i → c R i （ c = 0 ），(3) 行の加法 R i → R i + c R j ．いずれも解集合を変えない．
(1) 零行は下に集まる，(2) 各非零行のピボットは 1 ，(3) ピボットは上の行ほど左，(4) ピボット列ではピボット以外 0 ．任意の行列は行基本変形で一意な RREF に変換できる．
A x = 0 の解全体 ker A は K n の部分空間で， dim ker A = n − rank A ．
A x = b が解 x 0 を持つとき，一般解は x = x 0 + ker A = { x 0 + h ∣ A h = 0 }
（特殊解 + 斉次方程式の一般解）
A x = b かつ A x 0 = b ならば A ( x − x 0 ) = 0 ，すなわち x − x 0 ∈ ker A ．逆も成立する． □
n 元連立方程式 A x = b について：
解が存在 ⟺ rank A = rank ( A ∣ b )
解が存在するとき一意 ⟺ rank A = n （自由変数なし）
解が存在するとき，自由変数は n − rank A 個
( 1 1 1 2 1 3 ) x = ( 3 6 ) の RREF は ( 1 0 0 1 − 1 2 ) ．自由変数 x 3 = t ．一般解： x = ( t , 3 − 2 t , t ) T = ( 0 , 3 , 0 ) T + t ( 1 , − 2 , 1 ) T ．
→ 詳しくは ：
https://interconnectd.app/articles/fPFgeQ8fyAACO9Mc97LU
7. 行列式
n 次正方行列 A = ( a ij ) の行列式を det A = σ ∈ S n ∑ sgn ( σ ) i = 1 ∏ n a i , σ ( i )
と定義する（ S n は n 次置換全体， sgn ( σ ) は置換の符号）．
n = 2 ： det ( a c b d ) = a d − b c ．幾何的には列ベクトルが作る平行四辺形の符号付き面積．
多重線形性 ：各行について線形
交代性 ：2行を入れ替えると符号が変わる
正規化 ： det I n = 1
2行が等しい ⇒ det A = 0
行に別の行のスカラー倍を加えても det 不変
det A T = det A
( i , j ) 余因子 a ~ ij = ( − 1 ) i + j M ij （ M ij は第 i 行・第 j 列を除いた小行列式）．
第 i 行展開： det A = ∑ j = 1 n a ij a ~ ij ．第 j 列展開： det A = ∑ i = 1 n a ij a ~ ij ．
A = 2 0 1 1 − 1 0 3 2 1 の第1行展開： det A = 2 ( − 1 ) − 1 ( − 2 ) + 3 ( 1 ) = 3 ．
det A = 0 のとき rank ( A B ) < n より det ( A B ) = 0 ． det A = 0 のとき A を基本行列の積として書き，各ステップで基本性質から確認する． □
A が正則 ⟺ det A = 0 ．正則のとき det ( A − 1 ) = ( det A ) − 1 ．
A が n 次正則行列のとき， A x = b の解は x i = det A i / det A （ A i ： A の第 i 列を b で置換）．
A − 1 = d e t A 1 A ~ T （ A ~ T は余因子行列の転置）．
→ 詳しくは ：
https://interconnectd.app/articles/B0R3lVqKSiEkgbhijeP5
8. 固有値と固有ベクトル
A v = λ v （ v = 0 ）を満たす λ ∈ K を 固有値 （eigenvalue）， v を 固有ベクトル （eigenvector）という．
V λ = ker ( A − λ I ) = { v ∣ A v = λ v } を固有値 λ の 固有空間 という． V λ は部分空間である．
p A ( λ ) = det ( A − λ I ) = ( − 1 ) n λ n + ( − 1 ) n − 1 ( tr A ) λ n − 1 + ⋯ + det A
det ( P − 1 A P − λ I ) = det ( P − 1 ( A − λ I ) P ) = det ( A − λ I ) ． □
λ 0 の 代数的重複度 ： p A ( λ ) における ( λ − λ 0 ) の重複度． λ 0 の 幾何的重複度 ： dim V λ 0 ．常に 1 ≤ 幾何的 ≤ 代数的．
A = ( 2 0 1 2 ) ：固有値 λ = 2 （代数的重複度 2 ）， V 2 = span {( 1 , 0 ) T } （幾何的重複度 1 ）．
λ 1 , … , λ k が互いに異なる固有値のとき，対応する固有ベクトル v 1 , … , v k は線形独立である．
k に関する帰納法． ∑ c i v i = 0 に A を作用させ， λ k 倍を引くと ∑ i = 1 k − 1 c i ( λ i − λ k ) v i = 0 ．帰納法の仮定と λ i = λ k より c i = 0 ． □
λ 1 , … , λ n （重複込み）について： tr A = ∑ λ i ， det A = ∏ λ i ．
A を n 次正方行列， p A ( λ ) をその固有多項式とすると p A ( A ) = O ．
A = ( 1 3 2 4 ) ： p A ( λ ) = λ 2 − 5 λ − 2 ． A 2 − 5 A − 2 I = O を直接計算で確認できる．
→ 詳しくは ：
https://interconnectd.app/articles/vXx2Iljso5pFnzgU1q4G
9. 対角化
正則行列 P が存在して P − 1 A P = diag ( λ 1 , … , λ n ) が対角行列になるとき， A は 対角化可能 という．
以下は同値：
A が対角化可能
A が n 個の線形独立な固有ベクトルを持つ
すべての固有値 λ i について，幾何的重複度 = 代数的重複度
( 1 ⇔ 2 ) ： P − 1 A P = D ⟺ A P = P D ⟺ P の列ベクトルが固有ベクトル． P 正則 ⟺ 列が線形独立． □
対角化の手順 ：
p A ( λ ) = det ( A − λ I ) = 0 を解いて固有値を求める
各 λ i に対して ker ( A − λ i I ) の基底（固有ベクトル）を求める
幾何的重複度 = 代数的重複度を確認（不一致なら対角化不可能）
固有ベクトルを並べた行列 P を構成し D = P − 1 A P
A = ( 4 1 − 2 1 ) ： p A = ( λ − 2 ) ( λ − 3 ) ， v 1 = ( 1 , 1 ) T （ λ = 2 ）， v 2 = ( 2 , 1 ) T （ λ = 3 ）． P = ( 1 1 2 1 ) ， P − 1 A P = ( 2 0 0 3 ) ．
A n ： A = P D P − 1 ⇒ A n = P D n P − 1 = P diag ( λ 1 n , … , λ k n ) P − 1 ．
K = C のとき，任意の正方行列はユニタリ行列で上三角化できる．対角化不能でも三角化は常に可能．
→ 詳しくは ：
https://interconnectd.app/articles/p0FjbW7wXEElVP6KQBpE
10. 内積空間と正規直交基底
実ベクトル空間 V 上の写像 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : V × V → R が 内積 であるとは，(1) 対称性 ⟨ u , v ⟩ = ⟨ v , u ⟩ ，(2) 第一引数の線形性，(3) 正定値性 ⟨ v , v ⟩ ≥ 0 （等号 ⟺ v = 0 ）を満たすことをいう．
内積の例 ：
R n の標準内積： ⟨ x , y ⟩ = ∑ x i y i = x T y
関数空間： ⟨ f , g ⟩ = ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x
行列空間： ⟨ A , B ⟩ = tr ( A T B )
∥ v ∥ = ⟨ v , v ⟩ （ノルム）． ⟨ u , v ⟩ = 0 のとき u ⊥ v （直交）．
∣ ⟨ u , v ⟩ ∣ ≤ ∥ u ∥ ⋅ ∥ v ∥ ．等号は u , v が線形従属のとき．
v = 0 のとき， 0 ≤ ∥ u − t v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 − 2 t ⟨ u , v ⟩ + t 2 ∥ v ∥ 2 に t = ⟨ u , v ⟩ /∥ v ∥ 2 を代入して整理する． □
⟨ e i , e j ⟩ = δ ij を満たす基底 { e 1 , … , e n } を 正規直交基底 （ONB）という．ONB では v = ∑ ⟨ v , e i ⟩ e i （座標が内積で求まる）．
線形独立な { v 1 , … , v n } から正規直交系 { e 1 , … , e n } を構成する手続き： u k = v k − j = 1 ∑ k − 1 ⟨ v k , e j ⟩ e j , e k = u k /∥ u k ∥
span { e 1 , … , e k } = span { v 1 , … , v k } が各 k で成り立つ．
v 1 = ( 1 , 1 , 0 ) T ， v 2 = ( 1 , 0 , 1 ) T の正規直交化： e 1 = 2 1 ( 1 , 1 , 0 ) T ． u 2 = v 2 − ⟨ v 2 , e 1 ⟩ e 1 = ( 1/2 , − 1/2 , 1 ) T ． e 2 = u 2 /∥ u 2 ∥ ．
有限次元内積空間 V の部分空間 W に対して V = W ⊕ W ⊥ ， dim W ⊥ = dim V − dim W ， ( W ⊥ ) ⊥ = W ．
v = w + w ⊥ （ w ∈ W ， w ⊥ ∈ W ⊥ ）における w = proj W ( v ) を 正射影 という．ONB { e 1 , … , e k } を用いて proj W ( v ) = ∑ i = 1 k ⟨ v , e i ⟩ e i ．
proj W ( v ) は W の中で v に最も近い点： ∥ v − proj W ( v ) ∥ ≤ ∥ v − w ∥ （ ∀ w ∈ W ）．
∥ v − w ∥ 2 = ∥ v − v ^ ∥ 2 + ∥ v ^ − w ∥ 2 （ v − v ^ ⊥ v ^ − w による）． ∥ v ^ − w ∥ 2 ≥ 0 より ∥ v − w ∥ ≥ ∥ v − v ^ ∥ ． □
A x = b が解を持たないとき，最小二乗解は A T A x ^ = A T b を満たす．
→ 詳しくは ：
https://interconnectd.app/articles/e6ZGri5uX6HtpARWpe5a
11. Jordan 標準形
J k ( λ ) = λ O 1 λ ⋱ ⋱ O 1 λ ∈ M k ( K ) 対角成分 λ ，上対角成分 1 ，他は 0 ． J 1 ( λ ) = ( λ ) は対角成分に相当．
λ の代数的重複度 m に対して W λ = ker ( A − λ I ) m （ dim W λ = m ）．通常の固有空間 V λ = ker ( A − λ I ) は W λ の部分空間．
A の相異なる固有値を λ 1 , … , λ s とすると K n = W λ 1 ⊕ ⋯ ⊕ W λ s ．
K = C のとき，任意の n 次正方行列 A に対してある正則行列 P が存在して P − 1 A P = diag ( J k 1 ( λ 1 ) , J k 2 ( λ 2 ) , … , J k r ( λ r ))
Jordan 細胞の順序を除いて一意に定まる．
p A ( λ ) = ( λ − 2 ) 3 ( λ − 5 ) で dim V 2 = 2 ， dim V 5 = 1 のとき，固有値 2 の Jordan 細胞は J 2 ( 2 ) と J 1 ( 2 ) ，固有値 5 は J 1 ( 5 ) ．
A を零化する最小次数のモニック多項式 m A ( λ ) ． m A は p A を割り切り，同じ根を持つ．
A が対角化可能 ⟺ m A ( λ ) が重根を持たない．最小多項式は m A ( λ ) = ∏ i ( λ − λ i ) k i （ k i = 固有値 λ i の最大 Jordan 細胞サイズ）．
e t J k ( λ ) = e λ t 1 0 ⋮ 0 0 t 1 ⋯ ⋯ t 2 /2 ! t ⋱ ⋯ ⋯ ⋱ 1 0 t k − 1 / ( k − 1 )! t k − 2 / ( k − 2 )! ⋮ t 1 J k ( λ ) = λ I + N （ N k = O ）と分解し， e t J k ( λ ) = e λ t e tN （有限和）．
A = ( 2 0 1 2 ) = J 2 ( 2 ) のとき e t A = e 2 t ( 1 0 t 1 ) ．連立微分方程式 x ′ = A x ， x ( 0 ) = ( 1 , 1 ) T の解は x ( t ) = e 2 t ( 1 + t , 1 ) T ．
→ 詳しくは ：
https://interconnectd.app/articles/6tjBgFeqG4JrwZrezpjk
12. 線形代数の全体像
graph LR
A["ベクトル空間<br/>8公理"] --> B["基底・次元<br/>Steinitz"]
B --> C["線形写像<br/>次元定理"]
C --> D["行列<br/>表現行列"]
D --> E["行列式<br/>積公式"]
E --> F["固有値<br/>固有多項式"]
F --> G["対角化<br/>A = PDP⁻¹"]
G --> H["Jordan標準形<br/>一般化固有空間"]
B --> I["内積空間<br/>Gram-Schmidt"]
I --> J["射影・最小二乗法"]
style A fill:#f5f5f5,stroke:#333,color:#000
style F fill:#f5f5f5,stroke:#333,color:#000
style H fill:#f5f5f5,stroke:#333,color:#000
13. 線形代数の定理一覧
学部線形代数で登場する主要定理の一行サマリーである．
零ベクトルの一意性 ： 0 は一意に定まる
Steinitz 交換定理 ：線形独立系の元数 ≤ 生成系の元数
基底の元数の一致 ：任意の2つの基底は同じ元数
次元公式 ： dim ( W 1 + W 2 ) = dim W 1 + dim W 2 − dim ( W 1 ∩ W 2 )
次元定理 ： dim V = dim ker T + dim Im T
列階数= ： rank の well-definedness
行列式の積公式 ： det ( A B ) = det A ⋅ det B
余因子展開 ： det A = ∑ j a ij a ~ ij
クラメルの公式 ： x i = det A i / det A
異なる固有値の固有ベクトルの線形独立性
ケーリー・ハミルトンの定理 ： p A ( A ) = O
対角化条件 ：幾何的重複度 = 代数的重複度（全固有値）
Cauchy-Schwarz の不等式 ： ∣ ⟨ u , v ⟩ ∣ ≤ ∥ u ∥∥ v ∥
Gram-Schmidt の正規直交化法
最良近似定理 ：正射影 = 最近点
正規方程式 ： A T A x ^ = A T b
さらに構造論的な結果として：
Schur の三角化定理 ：ユニタリ行列で上三角化可能（ C 上）
Jordan 標準形の存在と一意性 ：Jordan 細胞に相似（ C 上）
最小多項式と対角化 ： m A が重根なし ⟺ 対角化可能
14. 付録：記号と用語一覧
記号
読み
意味
K 体
通常 R C
V , W ベクトル空間
8公理を満たす集合
dim V V 基底の元数
span { v 1 , … , v n } 生成
全線形結合の集合
W 1 ⊕ W 2 直和
分解が一意な和空間
T : V → W 線形写像
加法とスカラー倍を保存する写像
ker T 核
T ( v ) = 0 v
Im T 像
T ( v )
[ T ] B C 表現行列
基底 B , C T
rank A 階数
列（行）の生成する空間の次元
det A 行列式
置換による定義
tr A トレース
対角成分の和 = ∑ λ i
A T 転置
( A T ) ij = A ji
A − 1 逆行列
A A − 1 = A − 1 A = I
p A ( λ ) 固有多項式
det ( A − λ I )
V λ 固有空間
ker ( A − λ I )
W λ 一般化固有空間
ker ( A − λ I ) m
⟨ u , v ⟩ 内積
対称・線形・正定値
∥ v ∥ ノルム
⟨ v , v ⟩
u ⊥ v 直交
⟨ u , v ⟩ = 0
W ⊥ 直交補空間
W
proj W ( v ) 正射影
v W
J k ( λ ) Jordan 細胞
λ I + N N
m A ( λ ) 最小多項式
A
e A 行列指数関数
∑ A k / k !