行列と線形写像の表現 ― 基底を選んで計算する

線形写像の表現行列の定義から出発し，基底変換公式 P^{-1}AP，行列の階数と線形写像の階数の一致，正則行列と逆行列の理論を展開する．

2026年2月27日

1 表現行列

定義 1 (表現行列).

V, W

を有限次元ベクトル空間，

B = {v_{1}, \dots, v_{n}}

を

V

の基底，

C = {w_{1}, \dots, w_{m}}

を

W

の基底とする．線形写像

T : V \to W

に対して，

T (v_{j}) = i = 1 \sum m a_{ij} w_{i} (j = 1, \dots, n)

で定まる

m \times n

行列

A = (a_{ij})

を，基底

B, C

に関する

T

の表現行列という．

[T]_{B}^{C}

と書く．

注意 2.

表現行列の第

j

列は，

T (v_{j})

の

C

に関する座標ベクトルである．すなわち「基底の像を列として並べたもの」が表現行列である．

例 3.

T : R^{2} \to R^{3}

，

T (x, y) = (x + y, 2 x, - y)

とする．標準基底

{e_{1}, e_{2}}

，

{f_{1}, f_{2}, f_{3}}

に関する表現行列は

T (e_{1}) = (1, 2, 0), T (e_{2}) = (1, 0, - 1) ⟹ [T] = 120 10 - 1

定理 4 (合成と行列の積).

T : V \to W

，

S : W \to U

を線形写像とし，基底

B, C, D

に関する表現行列をそれぞれ

A = [T]_{B}^{C}

，

B^{'} = [S]_{C}^{D}

とする．合成

S \circ T : V \to U

の表現行列は

[S \circ T]_{B}^{D} = B^{'} A

すなわち，合成は行列の積に対応する．

2 基底変換

定義 5 (基底の変換行列).

V

の2つの基底

B = {v_{1}, \dots, v_{n}}

と

B^{'} = {v_{1}^{'}, \dots, v_{n}^{'}}

に対して，

v_{j}^{'} = i = 1 \sum n p_{ij} v_{i} (j = 1, \dots, n)

で定まる行列

P = (p_{ij})

を

B

から

B^{'}

への変換行列（transition matrix）という．

定理 6 (基底変換公式).

T : V \to V

を線形写像とし，基底

B

に関する表現行列を

A

，基底

B^{'}

に関する表現行列を

A^{'}

とする．

P

を

B

から

B^{'}

への変換行列とすると

A^{'} = P^{- 1} A P

証明.

v \in V

の

B

に関する座標を

x

，

B^{'}

に関する座標を

x^{'}

とすると

x = P x^{'}

．

T

の

B

表現は

A x

，これの

B^{'}

座標は

P^{- 1} A x = P^{- 1} A P x^{'}

．よって

A^{'} = P^{- 1} A P

． □

定義 7 (相似).

正方行列

A, A^{'}

に対して，ある正則行列

P

が存在して

A^{'} = P^{- 1} A P

が成り立つとき，

A

と

A^{'}

は相似（similar）であるという．

注意 8.

相似な行列は同じ線形写像の異なる基底に関する表現である．したがって，相似な行列は同じ固有値，同じ行列式，同じ階数，同じトレースを持つ．

3 行列の階数

定義 9 (行列の階数).

m \times n

行列

A

の列ベクトルが

R^{m}

の中で生成する部分空間の次元を

A

の列階数，行ベクトルが

R^{n}

の中で生成する部分空間の次元を

A

の行階数という．

定理 10 (列階数

=

行階数).

任意の行列について列階数と行階数は等しい．この共通の値を

rank A

と書く．

証明.

A

を

T_{A} : K^{n} \to K^{m}

，

T_{A} (x) = A x

の表現行列とみなすと，列階数

= dim Im T_{A}

．行基本変形は

Im

の次元を変えないことと，RREF の非零行の本数が行階数であることから，両者の一致が従う． □

4 正則行列と逆行列

定義 11 (正則行列).

n

次正方行列

A

に対して

A B = B A = I_{n}

なる行列

B

が存在するとき，

A

を正則行列（invertible matrix），

B

を

A

の逆行列といい

A^{- 1}

と書く．

定理 12 (正則行列の同値条件).

n

次正方行列

A

について，以下は同値である：

$A$ は正則
$rank A = n$
$det A \neq = 0$
$A x = 0$ の解は $x = 0$ のみ
$A$ の列ベクトルは線形独立
$A$ の RREF は $I_{n}$
$T_{A} : K^{n} \to K^{n}$ は同型写像

定理 13 (逆行列の一意性).

正則行列の逆行列は一意である．

証明.

A B = B A = I

かつ

A C = C A = I

ならば

B = B I = B (A C) = (B A) C = I C = C

． □

定理 14 (逆行列の性質).

A, B

が正則行列のとき：

$(A^{- 1})^{- 1} = A$
$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$
$(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$

証明.

(1)

A^{- 1} \cdot A = I

かつ

A \cdot A^{- 1} = I

であるから，

A

は

A^{- 1}

の逆行列である．逆行列の一意性より

(A^{- 1})^{- 1} = A

．

(2)

(A B) (B^{- 1} A^{- 1}) = A (B B^{- 1}) A^{- 1} = A I A^{- 1} = A A^{- 1} = I

．同様に

(B^{- 1} A^{- 1}) (A B) = I

．逆行列の一意性より

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}

．

(3)

(A^{T}) (A^{- 1})^{T} = (A^{- 1} A)^{T} = I^{T} = I

．同様に

(A^{- 1})^{T} A^{T} = (A A^{- 1})^{T} = I

．逆行列の一意性より

(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}

． □

行列と線形写像の表現 ― 基底を選んで計算する

1 表現行列

2 基底変換

3 行列の階数

4 正則行列と逆行列

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