行列の積の定義を初めて見たとき，多くの人がこう思うでしょう：なぜこんな複雑な掛け方をするのか？

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)$のとき，

成分ごとに掛けた方がずっと簡単そうです．しかし，行列の積がこの形になるのは，「線形写像の合成」を表しているからなのです．

1 線形写像を行列で表す

線形写像$T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$を考えます．基底$\{e_1,e_2\}$に対する像がわかれば，$T$は完全に決まります．

つまり，行列とは線形写像を基底を使って数値化したものです．基底の像を列ベクトルとして並べたものが表現行列になります．

2 行列の積 ＝ 写像の合成

ここが核心です．2つの線形写像を続けて適用する（合成する）ことを考えます．

この計算をよく見てください．$S\circ T$の行列の$(i,j)$成分を求めるには，$B$の第$i$行と$A$の第$j$列の内積を取っています．これがまさに行列の積の定義です．

完全に一致しています．

3 サイズの制約も自然にわかる

$m\times n$行列と$p\times q$行列の積が$n=p$のときだけ定義される理由も明快です．

$A$（$m\times n$）は写像${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$を表し，$B$（$p\times q$）は写像${\mathbb{R}}^q\to {\mathbb{R}}^p$を表します．合成$A\circ B$が定義できるのは$B$の行き先と$A$の定義域が一致するとき，つまり$p=n$のときです．そして合成$AB:{\mathbb{R}}^q\to {\mathbb{R}}^m$は$m\times q$行列になります．

4 結合法則$(AB)C=A(BC)$の正体

行列の積の結合法則は，写像の合成の結合法則$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$の反映です．写像を3つ続けて適用するとき，どの2つを先にまとめても最終結果は同じ — これは当然のことです．

5 $AB\ne BA$の直感

行列の積が一般に非可換（$AB\ne BA$）であることも，写像の合成として理解すれば自然です．

6 基底変換 — 同じ写像の別の顔

同じ線形写像でも，基底の選び方を変えると表現行列が変わります．基底$B$から基底$B^{\prime }$に変換する行列を$P$とすると

7 まとめ

行列の積が「あの形」になるのは偶然ではありません．行列は線形写像の表現であり，行列の積は写像の合成に対応しています．サイズの制約，結合法則，非可換性——これらすべてが，写像の合成という幾何学的直感から自然に理解できます．行列を単なる「数の表」ではなく「写像の代理人」と見ることが，線形代数を理解する鍵です．