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線形代数 — 教科書の行間

ベクトル空間の公理から内積空間まで．教科書が「行間」に残した問いに答え，線形代数の直感を鍛えるシリーズ全6回．

高校で習う「矢印のベクトル」は，実はベクトル空間のほんの一例にすぎません．多項式や関数，行列までもがベクトル空間になる理由と，公理による定義の威力を具体例で実感します．

「3次元空間」の「3」が何を意味するのか．基底の元数がいつも同じになるという非自明な事実と，Steinitz交換定理の具体例を通して，次元の正体に迫ります．

行列の積の定義が「あの形」になる理由を，線形写像の合成から説明します．具体的な写像の合成を手計算し，行列の積が自然に現れる過程を体験します．

2×2行列式が平行四辺形の符号付き面積を表す事実から出発し，行列式の幾何学的意味を探ります．det=0が「潰れる」こと，積公式が「伸縮率の積」であることを具体例で見ます．

固有値・固有ベクトルの幾何的意味と，対角化がなぜ「世界を簡単にする」のかを実例で体感します．A^100の計算，フィボナッチ数列，連立微分方程式への応用を見ます．

ベクトル空間に「長さ」と「角度」を導入する内積の威力を実感します．Gram-Schmidtの手計算，直交射影，最小二乗法，フーリエ級数との繋がりを具体例で見ます．