教科書で行列式の定義を見ると，置換だのsgn（符号）だの，天から降ってきたような式が並びます．

いったい何を計算しているのでしょうか？ 答えは「体積の伸縮率（符号付き）」です．

1 2×2 — 平行四辺形の面積

最も簡単なケースから始めましょう．2つのベクトル$\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)$，$\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)$が作る平行四辺形の面積は

2 3×3 — 平行六面体の体積

3次元では，3本のベクトル$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$が作る平行六面体の体積が

3 $\det =0$⇔ 潰れる

行列式が$0$になることの幾何学的意味は明快です：像が潰れて，次元が下がるということです．

• $2\times 2$ で $\det =0$ → 平行四辺形が線分に潰れる（2次元 → 1次元以下）

• $3\times 3$ で $\det =0$ → 平行六面体が平面や線分に潰れる（3次元 → 2次元以下）

これは連立方程式の言葉では「$\det A=0$ ⇔ $Ax=0$に非自明な解がある」ことに対応します．

4 符号の意味 — 向きの保存と反転

行列式には正負があります．この符号は「向き」を表しています．

5 積公式$\det (AB)=\det A\cdot \det B$

この公式の幾何学的意味は非常に明快です．

$A$が体積を$\det A$倍に変え，$B$が体積を$\det B$倍に変えるなら，$AB$（$B$を先に適用してから$A$）は体積を$\det A\cdot \det B$倍に変えます．伸縮率が掛け算になるという当然のことを述べています．

6 クラメルの公式 — 行列式で方程式を解く

行列式を使って連立方程式を解く公式がクラメルの公式です．$Ax=b$の解は

7 まとめ

行列式は線形写像による体積の伸縮率（符号付き）を測っています．$\det =0$は像が潰れること，符号は向きの保存・反転，積公式は伸縮率の掛け算です．置換や符号関数による抽象的な定義は，この幾何学的内容を$n$次元に一般化するための道具にすぎません．