ベクトル空間の定義と基本性質 ― 線形代数の出発点を固める

ベクトル空間の8つの公理から出発し，零ベクトルの一意性，スカラー倍の基本性質を証明する．さらに部分空間の判定法，和空間・直和の定義まで，線形代数の土台を一つずつ積み上げる教科書スタイルの解説．

2026年2月27日

1 ベクトル空間の公理

定義 1 (ベクトル空間).

体

K

上のベクトル空間（vector space）とは，集合

V

に加法

+ : V \times V \to V

とスカラー倍

\cdot : K \times V \to V

が定義され，以下の8条件を満たすものをいう：

$u + v = v + u$ （加法の可換性）
$(u + v) + w = u + (v + w)$ （加法の結合性）
ある $0 \in V$ が存在して，任意の $v \in V$ に対し $v + 0 = v$ （零ベクトルの存在）
任意の $v \in V$ に対し， $v + (- v) = 0$ なる $- v \in V$ が存在（逆ベクトルの存在）
$a (b v) = (ab) v$ （スカラー倍の結合性）
$1 \cdot v = v$ （スカラー $1$ の作用）
$a (u + v) = a u + a v$ （分配法則1）
$(a + b) v = a v + b v$ （分配法則2）

ここで

a, b \in K

，

u, v, w \in V

である．

以下，特に断らない限り体 $K = R$ とする．

2 基本的な例

例 2 (

K^{n}

R^{n} = {(a_{1}, \dots, a_{n}) ∣ a_{i} \in R}

は成分ごとの加法とスカラー倍で

R

上のベクトル空間をなす．零ベクトルは

0 = (0, \dots, 0)

．

例 3 (多項式空間).

K [x]_{\leq n} = {a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n} ∣ a_{i} \in K}

は多項式の加法とスカラー倍で

K

上のベクトル空間をなす．零ベクトルは零多項式

0

．

dim K [x]_{\leq n} = n + 1

．

例 4 (行列空間).

m \times n

行列全体

M_{m \times n} (K)

は，行列の加法とスカラー倍で

K

上のベクトル空間をなす．零ベクトルは零行列

O

．

dim M_{m \times n} (K) = mn

．

例 5 (関数空間).

区間

[a, b]

上の実数値連続関数全体

C [a, b]

は，関数の加法

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

とスカラー倍

(c f) (x) = c \cdot f (x)

で

R

上のベクトル空間をなす．これは無限次元のベクトル空間である．

3 零ベクトルと逆ベクトルの一意性

定理 6 (零ベクトルの一意性).

ベクトル空間

V

の零ベクトルは一意である．

証明.

0

と

0^{'}

がともに零ベクトルであるとする．

0

が零ベクトルであることから

0^{'} + 0 = 0^{'}

．

0^{'}

が零ベクトルであることから

0^{'} + 0 = 0

．よって

0^{'} = 0

． □

定理 7 (逆ベクトルの一意性).

各

v \in V

に対して，逆ベクトル

- v

は一意である．

証明.

w_{1}, w_{2}

がともに

v

の逆ベクトルとする．

w_{1} = w_{1} + 0 = w_{1} + (v + w_{2}) = (w_{1} + v) + w_{2} = 0 + w_{2} = w_{2}

． □

4 スカラー倍の基本性質

定理 8.

ベクトル空間

V

において次が成り立つ：

$0 \cdot v = 0$ （スカラー $0$ 倍は零ベクトル）
$a \cdot 0 = 0$ （零ベクトルのスカラー倍は零ベクトル）
$(- 1) v = - v$
$a v = 0 \Rightarrow a = 0$ または $v = 0$

証明.

(1)

0 \cdot v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v

．両辺から

0 v

を引いて

0 = 0 v

．

(2)

a \cdot 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0

．両辺から

a 0

を引いて

0 = a 0

．

(3)

v + (- 1) v = 1 \cdot v + (- 1) v = (1 + (- 1)) v = 0 v = 0

．逆ベクトルの一意性より

(- 1) v = - v

．

(4)

a \neq = 0

と仮定する．

a v = 0

の両辺に

a^{- 1}

を掛けると

v = a^{- 1} 0 = 0

． □

5 部分空間

定義 9 (部分空間).

ベクトル空間

V

の空でない部分集合

W

が

V

の部分空間（subspace）であるとは，

W

が

V

から受け継いだ演算でベクトル空間をなすことをいう．

定理 10 (部分空間の判定法).

V

をベクトル空間，

W \subseteq V

を空でない部分集合とする．

W

が

V

の部分空間であるための必要十分条件は次の2つが成り立つことである：

$u, v \in W \Rightarrow u + v \in W$
$a \in K, v \in W \Rightarrow a v \in W$

証明.

必要性は明らか．十分性を示す．

W \neq = \emptyset

より

v \in W

が存在する．条件(2)で

a = 0

とおくと

0 = 0 \cdot v \in W

．同じく

a = - 1

とおくと

- v \in W

．公理の残り（結合法則，可換法則，分配法則等）は

V

から受け継がれる． □

注意 11.

条件(1)(2)を1つにまとめることもできる：

a, b \in K, u, v \in W \Rightarrow a u + b v \in W

．

例 12.

R^{3}

において，

W = {(x, y, z) ∣ x + y + z = 0}

は部分空間である．

u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}), v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \in W

ならば

(u_{1} + v_{1}) + (u_{2} + v_{2}) + (u_{3} + v_{3}) = 0

なので

u + v \in W

．スカラー倍も同様．

例 13.

{(x, y, z) ∣ x + y + z = 1}

は部分空間でない．

0 = (0, 0, 0)

がこの集合に属さないからである．

6 和空間と直和

定義 14 (和空間).

W_{1}, W_{2}

を

V

の部分空間とする．和空間を

W_{1} + W_{2} = {w_{1} + w_{2} ∣ w_{1} \in W_{1}, w_{2} \in W_{2}}

と定める．これは

W_{1} \cup W_{2}

を含む最小の部分空間である．

定義 15 (直和).

W_{1} + W_{2}

において，各ベクトル

v \in W_{1} + W_{2}

の分解

v = w_{1} + w_{2}

（

w_{i} \in W_{i}

）が一意であるとき，

W_{1} + W_{2}

を直和（direct sum）といい，

W_{1} \oplus W_{2}

と書く．

定理 16.

W_{1} + W_{2}

が直和であるための必要十分条件は

W_{1} \cap W_{2} = {0}

である．

証明.

(\Rightarrow)

v \in W_{1} \cap W_{2}

とする．

v = v + 0 = 0 + v

は2通りの分解を与える．直和の一意性より

v = 0

．

(\Leftarrow)

v = w_{1} + w_{2} = w_{1}^{'} + w_{2}^{'}

とする．

w_{1} - w_{1}^{'} = w_{2}^{'} - w_{2} \in W_{1} \cap W_{2} = {0}

より

w_{1} = w_{1}^{'}

，

w_{2} = w_{2}^{'}

． □

定理 17 (次元公式).

V

の有限次元部分空間

W_{1}, W_{2}

に対して

dim (W_{1} + W_{2}) = dim W_{1} + dim W_{2} - dim (W_{1} \cap W_{2})

特に

W_{1} \oplus W_{2}

のとき

dim (W_{1} \oplus W_{2}) = dim W_{1} + dim W_{2}

．

ベクトル空間の定義と基本性質 ― 線形代数の出発点を固める

1 ベクトル空間の公理

2 基本的な例

3 零ベクトルと逆ベクトルの一意性

4 スカラー倍の基本性質

5 部分空間

6 和空間と直和

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