内積空間と正規直交基底 ― 長さと角度の代数

内積の公理的定義から出発し，Cauchy-Schwarz不等式，Gram-Schmidtの正規直交化法を証明する．直交補空間と正射影の理論を体系的に展開する．

2026年2月27日

1 内積の定義

定義 1 (内積).

実ベクトル空間

V

上の写像

⟨ \cdot, \cdot ⟩ : V \times V \to R

が内積（inner product）であるとは，次の3条件を満たすことをいう：

対称性： $⟨ u, v ⟩ = ⟨ v, u ⟩$
第一引数の線形性： $⟨ a u + b v, w ⟩ = a ⟨ u, w ⟩ + b ⟨ v, w ⟩$
正定値性： $⟨ v, v ⟩ \geq 0$ ，等号は $v = 0$ のときのみ

内積が定義されたベクトル空間を内積空間（inner product space）という．

定義 2 (ノルムと直交).

内積空間

V

において，

v

のノルム（長さ）を

∥ v ∥ = ⟨ v, v ⟩

と定める．

⟨ u, v ⟩ = 0

のとき

u

と

v

は直交する（orthogonal）といい，

u ⊥ v

と書く．

例 3.

$R^{n}$ の標準内積： $⟨ x, y ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = x^{T} y$
$C [a, b]$ の内積： $⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x$
$M_{n} (R)$ の内積： $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{T} B)$

2 Cauchy-Schwarz の不等式

定理 4 (Cauchy-Schwarz の不等式).

内積空間

V

の任意の

u, v

に対して

∣ ⟨ u, v ⟩ ∣ \leq ∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥

等号は

u

と

v

が線形従属のとき，かつそのときに限る．

証明.

v = 0

なら両辺

0

で成立．

v \neq = 0

とする．任意の

t \in R

に対して

0 \leq ∥ u - t v ∥^{2} = ⟨ u - t v, u - t v ⟩ = ∥ u ∥^{2} - 2 t ⟨ u, v ⟩ + t^{2} ∥ v ∥^{2}

t = \frac{⟨ u , v ⟩}{∥ v ∥ ^{2}}

を代入すると

0 \leq ∥ u ∥^{2} - \frac{⟨ u , v ⟩ ^{2}}{∥ v ∥ ^{2}}

整理して

⟨ u, v ⟩^{2} \leq ∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2}

． □

定理 5 (三角不等式).

∥ u + v ∥ \leq ∥ u ∥ + ∥ v ∥

．

証明.

∥ u + v ∥^{2} = ⟨ u + v, u + v ⟩ = ∥ u ∥^{2} + 2 ⟨ u, v ⟩ + ∥ v ∥^{2} \leq ∥ u ∥^{2} + 2∥ u ∥∥ v ∥ + ∥ v ∥^{2} = (∥ u ∥ + ∥ v ∥)^{2}

．2番目の不等号で Cauchy-Schwarz の不等式

⟨ u, v ⟩ \leq ∣ ⟨ u, v ⟩ ∣ \leq ∥ u ∥∥ v ∥

を用いた．両辺正なので平方根を取って

∥ u + v ∥ \leq ∥ u ∥ + ∥ v ∥

． □

3 正規直交基底

定義 6 (正規直交系・正規直交基底).

{e_{1}, \dots, e_{n}}

が正規直交系（orthonormal system）であるとは

⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = δ_{ij} = {10 (i = j) (i \neq = j)

を満たすことをいう．正規直交系が基底をなすとき正規直交基底（orthonormal basis, ONB）という．

定理 7.

正規直交系は線形独立である．

証明.

\sum c_{i} e_{i} = 0

とする．

e_{k}

との内積を取ると

c_{k} = ⟨ \sum c_{i} e_{i}, e_{k} ⟩ = ⟨ 0, e_{k} ⟩ = 0

． □

定理 8 (正規直交基底による展開).

{e_{1}, \dots, e_{n}}

が

V

の正規直交基底のとき，任意の

v \in V

に対して

v = i = 1 \sum n ⟨ v, e_{i} ⟩ e_{i}

すなわち座標は内積で求まる：

v

の第

i

座標

= ⟨ v, e_{i} ⟩

．

証明.

{e_{1}, \dots, e_{n}}

は基底なので

v = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_{i}

と一意に書ける．両辺と

e_{k}

の内積を取ると

⟨ v, e_{k} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} ⟨ e_{i}, e_{k} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} δ_{ik} = a_{k}

．よって

a_{k} = ⟨ v, e_{k} ⟩

であり，

v = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ v, e_{i} ⟩ e_{i}

． □

4 Gram-Schmidt の正規直交化法

定理 9 (Gram-Schmidt).

{v_{1}, \dots, v_{n}}

を内積空間

V

の線形独立なベクトルとする．以下の手続きで正規直交系

{e_{1}, \dots, e_{n}}

が得られる：

$u_{1} = v_{1}$ ， $e_{1} = u_{1} /∥ u_{1} ∥$
$u_{k} = v_{k} - \sum_{j = 1}^{k - 1} ⟨ v_{k}, e_{j} ⟩ e_{j}$ ， $e_{k} = u_{k} /∥ u_{k} ∥$ ( $k = 2, \dots, n$ )

さらに

span {e_{1}, \dots, e_{k}} = span {v_{1}, \dots, v_{k}}

（各

k

）．

証明.

k

に関する帰納法．

k = 1

は明らか．

{e_{1}, \dots, e_{k - 1}}

が

span {v_{1}, \dots, v_{k - 1}}

の正規直交基底であるとする．

u_{k} = v_{k} - \sum_{j = 1}^{k - 1} ⟨ v_{k}, e_{j} ⟩ e_{j}

について：

j \leq k - 1

のとき

⟨ u_{k}, e_{j} ⟩ = ⟨ v_{k}, e_{j} ⟩ - ⟨ v_{k}, e_{j} ⟩ = 0

．

v_{k}

は

{v_{1}, \dots, v_{k - 1}}

と線形独立なので

u_{k} \neq = 0

．

e_{k} = u_{k} /∥ u_{k} ∥

とおけば

{e_{1}, \dots, e_{k}}

は正規直交系であり，

span {e_{1}, \dots, e_{k}} = span {v_{1}, \dots, v_{k}}

． □

5 直交補空間

定義 10 (直交補空間).

V

を内積空間，

W

を

V

の部分空間とする．

W^{⊥} = {v \in V ∣ ⟨ v, w ⟩ = 0, \forall w \in W}

を

W

の直交補空間（orthogonal complement）という．

定理 11.

V

が有限次元内積空間，

W

が

V

の部分空間のとき：

$W^{⊥}$ は $V$ の部分空間
$V = W \oplus W^{⊥}$
$dim W^{⊥} = dim V - dim W$
$(W^{⊥})^{⊥} = W$

証明.

(1)

u_{1}, u_{2} \in W^{⊥}

，

a, b \in K

とする．任意の

w \in W

に対して

⟨ a u_{1} + b u_{2}, w ⟩ = a ⟨ u_{1}, w ⟩ + b ⟨ u_{2}, w ⟩ = 0

より

a u_{1} + b u_{2} \in W^{⊥}

．

(2)

W

の正規直交基底

{e_{1}, \dots, e_{k}}

を取る（Gram-Schmidt で構成可能）．任意の

v \in V

に対して

w = \sum_{i = 1}^{k} ⟨ v, e_{i} ⟩ e_{i} \in W

とおくと，

v - w \in W^{⊥}

が確かめられる（

j \leq k

に対して

⟨ v - w, e_{j} ⟩ = ⟨ v, e_{j} ⟩ - ⟨ v, e_{j} ⟩ = 0

）．よって

v = w + (v - w)

で

V = W + W^{⊥}

．

W \cap W^{⊥} = {0}

は明らか（

u \in W \cap W^{⊥}

なら

⟨ u, u ⟩ = 0

より

u = 0

）なので

V = W \oplus W^{⊥}

．

(3)

V = W \oplus W^{⊥}

より

dim V = dim W + dim W^{⊥}

．

(4)

W \subseteq (W^{⊥})^{⊥}

は定義から明らか．(3) より

dim (W^{⊥})^{⊥} = dim V - dim W^{⊥} = dim W

なので

W = (W^{⊥})^{⊥}

． □

6 正射影

定義 12 (正射影).

V = W \oplus W^{⊥}

のとき，

v = w + w^{⊥}

（

w \in W

，

w^{⊥} \in W^{⊥}

）における

w

を

v

の

W

への正射影（orthogonal projection）といい，

proj_{W} (v) = w

と書く．

定理 13.

{e_{1}, \dots, e_{k}}

が

W

の正規直交基底のとき

proj_{W} (v) = i = 1 \sum k ⟨ v, e_{i} ⟩ e_{i}

証明.

w = \sum_{i = 1}^{k} ⟨ v, e_{i} ⟩ e_{i} \in W

とおく．

v - w \in W^{⊥}

を確認する．任意の

j = 1, \dots, k

に対して

⟨ v - w, e_{j} ⟩ = ⟨ v, e_{j} ⟩ - i = 1 \sum k ⟨ v, e_{i} ⟩ ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = ⟨ v, e_{j} ⟩ - ⟨ v, e_{j} ⟩ = 0

V = W \oplus W^{⊥}

より

v = w + (v - w)

は直和分解であり，定義から

proj_{W} (v) = w = \sum_{i = 1}^{k} ⟨ v, e_{i} ⟩ e_{i}

． □

定理 14 (最良近似定理).

proj_{W} (v)

は

W

の中で

v

に最も近い点である：

∥ v - proj_{W} (v) ∥ \leq ∥ v - w ∥ (\forall w \in W)

等号は

w = proj_{W} (v)

のときのみ．

証明.

\overset{v}{^} = proj_{W} (v)

とおく．

w \in W

に対して

∥ v - w ∥^{2} = ∥ v - \overset{v}{^} + \overset{v}{^} - w ∥^{2} = ∥ v - \overset{v}{^} ∥^{2} + ∥ \overset{v}{^} - w ∥^{2}

ここで

v - \overset{v}{^} \in W^{⊥}

と

\overset{v}{^} - w \in W

の直交性を用いた．

∥ \overset{v}{^} - w ∥^{2} \geq 0

より

∥ v - w ∥^{2} \geq ∥ v - \overset{v}{^} ∥^{2}

． □

内積空間と正規直交基底 ― 長さと角度の代数

1 内積の定義

2 Cauchy-Schwarz の不等式

3 正規直交基底

4 Gram-Schmidt の正規直交化法

5 直交補空間

6 正射影

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