線形写像 ― ベクトル空間の間の構造保存写像

線形写像の定義から出発し，核と像の定義，次元定理（rank-nullity theorem）を証明する．単射・全射との対応，線形写像の空間 Hom(V,W) まで体系的に解説する．

2026年2月27日

1 定義と基本例

定義 1 (線形写像).

V, W

を

K

上のベクトル空間とする．写像

T : V \to W

が線形写像（linear map）であるとは，次の2条件を満たすことをいう：

$T (u + v) = T (u) + T (v)$ （加法の保存）
$T (a v) = a T (v)$ （スカラー倍の保存）

注意 2.

2条件は1つにまとめられる：

T (a u + b v) = a T (u) + b T (v)

（任意の

a, b \in K

，

u, v \in V

）．

例 3.

回転行列 $R_{θ} : R^{2} \to R^{2}$ は線形写像である
微分作用素 $D : K [x]_{\leq n} \to K [x]_{\leq n - 1}$ ， $D f = f^{'}$ は線形写像である
積分 $I : C [a, b] \to R$ ， $I (f) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ は線形写像である
$T : R^{2} \to R^{2}$ ， $T (v) = v + (1, 0)$ は線形写像でない（ $T (0) \neq = 0$ ）

定理 4.

線形写像

T : V \to W

について

T (0_{V}) = 0_{W}

が成り立つ．

証明.

T (0) = T (0 \cdot 0) = 0 \cdot T (0) = 0

． □

定理 5 (基底の像による決定).

{v_{1}, \dots, v_{n}}

を

V

の基底とする．任意のベクトル

w_{1}, \dots, w_{n} \in W

に対して，

T (v_{i}) = w_{i}

（

i = 1, \dots, n

）を満たす線形写像

T : V \to W

がただ一つ存在する．

証明.

v = \sum a_{i} v_{i}

に対して

T (v) = \sum a_{i} w_{i}

と定める．基底による表示の一意性から

T

は well-defined であり，線形性は直接確認できる．一意性は基底の像が

T

を決定することから明らか． □

2 核と像

定義 6 (核).

線形写像

T : V \to W

の核（kernel）を

ker T = {v \in V ∣ T (v) = 0}

と定める．

定義 7 (像).

線形写像

T : V \to W

の像（image）を

Im T = {T (v) ∣ v \in V} = {w \in W ∣ \exists v \in V, T (v) = w}

と定める．

定理 8.

ker T

は

V

の部分空間，

Im T

は

W

の部分空間である．

証明.

ker T

：

u, v \in ker T

ならば

T (u + v) = T (u) + T (v) = 0

より

u + v \in ker T

．

T (a v) = a T (v) = a 0 = 0

より

a v \in ker T

．

Im T

：

T (u), T (v) \in Im T

ならば

T (u) + T (v) = T (u + v) \in Im T

．

a T (v) = T (a v) \in Im T

． □

定理 9 (単射と核の関係).

線形写像

T

が単射

⟺

ker T = {0}

．

証明.

(\Rightarrow)

v \in ker T

なら

T (v) = 0 = T (0)

．単射より

v = 0

．

(\Leftarrow)

T (u) = T (v)

なら

T (u - v) = 0

より

u - v \in ker T = {0}

．よって

u = v

． □

3 次元定理

定義 10.

dim ker T

を

T

の退化次数（nullity），

dim Im T

を

T

の階数（rank）という．

定理 11 (次元定理（rank-nullity theorem）).

V

を有限次元ベクトル空間，

T : V \to W

を線形写像とする．

dim V = dim ker T + dim Im T

証明.

dim ker T = r

とし，

ker T

の基底を

{u_{1}, \dots, u_{r}}

とする．これを

V

の基底に拡張して

{u_{1}, \dots, u_{r}, v_{1}, \dots, v_{s}}

とする（

r + s = dim V

）．

{T (v_{1}), \dots, T (v_{s})}

が

Im T

の基底であることを示す．

生成：

w \in Im T

なら

w = T (v)

で

v = \sum a_{i} u_{i} + \sum b_{j} v_{j}

．

T (v) = \sum b_{j} T (v_{j})

（

u_{i} \in ker T

だから）．

線形独立：

\sum b_{j} T (v_{j}) = 0

なら

T (\sum b_{j} v_{j}) = 0

．よって

\sum b_{j} v_{j} \in ker T

だから

\sum b_{j} v_{j} = \sum a_{i} u_{i}

，すなわち

\sum a_{i} u_{i} - \sum b_{j} v_{j} = 0

．基底の線形独立性より全係数

0

．特に

b_{j} = 0

（各

j

）．

よって

dim Im T = s = dim V - dim ker T

． □

例 12.

T : R^{3} \to R^{2}

，

T (x, y, z) = (x + y, y + z)

とする．

ker T = {(t, - t, t) ∣ t \in R}

なので

dim ker T = 1

．次元定理より

dim Im T = 3 - 1 = 2 = dim R^{2}

．よって

T

は全射である．

4 線形写像の空間

定義 13.

V, W

を

K

上のベクトル空間とする．

V

から

W

への線形写像全体の集合を

Hom_{K} (V, W)

と書く．

(T + S) (v) = T (v) + S (v)

，

(a T) (v) = a T (v)

と定めると，

Hom_{K} (V, W)

は

K

上のベクトル空間をなす．

定理 14.

dim V = n

，

dim W = m

ならば

dim Hom_{K} (V, W) = mn

．

証明.

基底の像による決定定理より，

T \in Hom (V, W)

は

V

の基底

n

本の像（各

W

の元，

m

次元）で決まる．これは

M_{m \times n} (K)

との同型を与え，

dim M_{m \times n} (K) = mn

． □

定義 15 (同型写像).

線形写像

T : V \to W

が全単射であるとき，

T

を同型写像（isomorphism）という．同型写像が存在するとき

V ≅ W

と書く．

定理 16.

有限次元ベクトル空間

V, W

について

V ≅ W ⟺ dim V = dim W

．

線形写像 ― ベクトル空間の間の構造保存写像

1 定義と基本例

2 核と像

3 次元定理

4 線形写像の空間

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