固有値と固有ベクトル ― 線形写像の不変方向
固有値・固有ベクトルの定義，固有多項式，固有空間，代数的・幾何的重複度を定義し，ケーリー・ハミルトンの定理を証明する．
1 定義
定義 1 (固有値・固有ベクトル).
を 上のベクトル空間， を線形写像とする．（）を満たすスカラー を の固有値（eigenvalue）， を固有値 に属する固有ベクトル（eigenvector）という．行列 に対しては （）で定義する．
定義 2 (固有空間).
を の固有値とする．
を固有値 の固有空間（eigenspace）という． は の部分空間である．
2 固有多項式
定理 3.
が の固有値であるための必要十分条件は である．
証明.
（） が非自明解を持つ が正則でない ． □
定義 4 (固有多項式).
を の固有多項式（characteristic polynomial）という．これは の 次多項式で
定理 5.
相似な行列は同じ固有多項式を持つ．特に固有値は基底の取り方によらない．
証明.
． □
3 代数的重複度と幾何的重複度
定義 6.
固有値 の代数的重複度（algebraic multiplicity）とは， における の重複度（根としての重複度）をいう．固有値 の幾何的重複度（geometric multiplicity）とは，固有空間の次元 をいう．
定理 7.
任意の固有値 に対して
例 8.
の固有多項式は ．固有値 の代数的重複度は ． より幾何的重複度は ．
定理 9 (異なる固有値の固有ベクトル).
が互いに異なる固有値のとき，対応する固有ベクトル は線形独立である．
証明.
に関する帰納法で示す． は明らか． まで成立するとし， とする．両辺に を作用させると ．元の式の 倍を引くと ．帰納法の仮定と より （）．元の式から ， より ． □
4 固有値の性質
定理 10.
次正方行列 の固有値 （重複を込めて）について：
が正則 が固有値でない
5 ケーリー・ハミルトンの定理
定理 11 (ケーリー・ハミルトン).
を 次正方行列， をその固有多項式とする．このとき
すなわち， は自身の固有多項式を零化する．
証明.
の余因子行列を とすると ． と を代入して の各べきの係数を比較し，左から順に を掛けて足し合わせると ． □
例 12.
の固有多項式は ．