同型定理 — 商群の正体を見破る３つの定理

同型定理は群論の中心定理ですが「結局何がうれしいのか」が見えにくいものです．det, sgn, exp など具体的な準同型を使って商群の正体を特定する過程を追い，3つの同型定理が実際にどう使われるのかを理解します．

2026年2月27日

前回，準同型写像 $φ : G \to H$ の核と像を定義し，核は正規部分群であること，逆に任意の正規部分群は自然な射影の核であることを見ました．では商群 $G / ker φ$ は具体的にどんな群でしょうか．

答えは驚くほどシンプルです． $G / ker φ ≅ Im φ$ — 核を潰してできる商群は，像と同型です．これが第一同型定理であり，群論全体の屋台骨となる定理です．

1 第一同型定理

定理 1 (第一同型定理).

φ : G \to H

を群準同型とすると

G / ker φ ≅ Im φ

この定理が何を言っているのか，前回のカタログに沿って確かめましょう．

例1： $det : G L_{n} (R) \to R^{*}$ （行列式）． $ker = S L_{n} (R)$ ， $Im = R^{*}$ （全射）です．第一同型定理より

G L_{n} (R) / S L_{n} (R) ≅ R^{*}

左辺の商群は定義上「行列式が等しい行列の同値類の集合」という抽象的な対象ですが，これが

R^{*}

（ゼロでない実数の乗法群）と全く同じ構造を持つのです．

例2： $sgn : S_{n} \to {+ 1, - 1}$ （符号）．

S_{n} / A_{n} ≅ {+ 1, - 1} ≅ Z /2 Z

n!

個の元を持つ

S_{n}

を偶奇でまとめると，位数

2

の群になります．

例3： $exp : (R, +) \to (R_{> 0}, \times)$ （指数関数）． $ker = {0}$ （単射）， $Im = R_{> 0}$ （全射）ですので

(R, +) ≅ (R_{> 0}, \times)

加法群と乗法群が同型です．

exp

と

lo g

が「足し算と掛け算を行き来させる」ことの群論的な意味が，ここに凝縮されています．

例4： $π : Z \to Z / n Z$ （mod $n$ 射影）． $ker = n Z$ ， $Im = Z / n Z$ （全射）です．第一同型定理より $Z / n Z ≅ Z / n Z$ — 自明に見えますが，左辺は「剰余類の集合としての商群」，右辺は「 ${0, \dots, n - 1}$ 上の mod $n$ 演算」です．この $2$ つが群として同じであることの保証です．

2 第一同型定理の使い方

この定理の真の威力は，未知の商群の正体を特定することにあります．

商群 $G / N$ は定義上は剰余類の集合ですが，「具体的にどんな群か」は定義からは見えません．戦略はこうです：

核が $N$ になるような準同型 $φ : G \to H$ を見つける
すると $G / N = G / ker φ ≅ Im φ$ で正体が判明

「 $G L_{n} (R) / S L_{n} (R)$ はどんな群か？」— 定義から直接答えるのは困難ですが， $det$ の核が $S L_{n} (R)$ であることを見抜けば，答えは $R^{*}$ です．

もう一つ例を見ましょう． $φ : Z \times Z \to Z$ を $φ (a, b) = a - b$ で定めます．

$ker φ = {(a, a) ∣ a \in Z}$ （対角線部分群）
$Im φ = Z$ （全射）

よって $(Z \times Z) / {(a, a)} ≅ Z$ です．直積群の対角線で割ると何が残るか — 第一同型定理なしでこの答えを得るのは容易ではありません．

3 第二同型定理

定理 2 (第二同型定理).

H \leq G

（部分群），

N ⊴ G

（正規部分群）のとき

H N / N ≅ H / (H \cap N)

$H N = {hn ∣ h \in H, n \in N}$ です．左辺は「 $H N$ の中で $N$ を潰す」，右辺は「 $H$ の中で $H \cap N$ を潰す」— どちらも同じ群になるという定理です．

例 3.

G = Z

，

H = 4 Z

，

N = 6 Z

とします．

$H N = 4 Z + 6 Z = 2 Z$ （ $g cd (4, 6) = 2$ の倍数全体）
$H \cap N = 4 Z \cap 6 Z = 12 Z$ （ $lcm (4, 6) = 12$ の倍数全体）

第二同型定理：

2 Z /6 Z ≅ 4 Z /12 Z

．両辺とも位数

3

の巡回群

Z /3 Z

に同型です．

左辺の剰余類は

{0, 6, 12, \dots}

，

{2, 8, 14, \dots}

，

{4, 10, 16, \dots}

の

3

つです．右辺の剰余類は

{0, 12, 24, \dots}

，

{4, 16, 28, \dots}

，

{8, 20, 32, \dots}

の

3

つです．見かけは異なりますが群としての構造は同じです．

注意 4.

証明の骨格は第一同型定理そのものです．

φ : H \to H N / N

（

h \mapsto h N

）を考えると全射であり，

ker φ = H \cap N

です．第一同型定理より

H / (H \cap N) ≅ H N / N

が従います．

4 第三同型定理

定理 5 (第三同型定理).

N \subseteq H

がともに

G

の正規部分群のとき

(G / N) / (H / N) ≅ G / H

これは「 $2$ 段階で割っても，一気に割っても同じ」という定理です．

例 6.

G = Z

，

N = 6 Z

，

H = 2 Z

（

6 Z \subseteq 2 Z

）とします．

(Z /6 Z) / (2 Z /6 Z) ≅ Z /2 Z

Z /6 Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

を

2 Z /6 Z = {0, 2, 4}

で割ると，

{0, 2, 4}

と

{1, 3, 5}

の

2

つの剰余類になります．これは

Z /2 Z

そのものです．

例 7.

G = Z

，

N = 12 Z

，

H = 4 Z

（

12 Z \subseteq 4 Z

）とします．

(Z /12 Z) / (4 Z /12 Z) ≅ Z /4 Z

Z /12 Z = {0, 1, \dots, 11}

を

4 Z /12 Z = {0, 4, 8}

で割ると，

{0, 4, 8}

，

{1, 5, 9}

，

{2, 6, 10}

，

{3, 7, 11}

の

4

つの剰余類です．

Z

を直接

4 Z

で割った

Z /4 Z

と一致します．

注意 8.

こちらも第一同型定理に帰着します．

φ : G / N \to G / H

（

g N \mapsto g H

）は全射準同型で，

ker φ = H / N

です．

5 3つの定理の統一的な見方

$3$ つの同型定理は全て同じパターンに従います：

適切な準同型写像 $φ$ を構成する
その核 $ker φ$ を特定する
第一同型定理を適用して $G / ker φ ≅ Im φ$ を得る

つまり第一同型定理が全ての根本であり，第二・第三はその応用です．教科書が $3$ つを並列に提示するので独立した定理に見えますが，本質は $1$ つです：「準同型の核を潰すと像になる」．

6 まとめ

同型定理は「商群の正体を暴く」ための道具です．第一同型定理は $G / ker φ ≅ Im φ$ によって，未知の商群を $det$ ， $sgn$ ， $exp$ などの具体的な準同型の像と結びつけます．第二・第三はその応用であり，核と像を特定するという同じ手順で証明されます．「核を潰すと像になる」— この一言が群論の屋台骨です．

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同型定理 — 商群の正体を見破る３つの定理

1 第一同型定理

2 第一同型定理の使い方

3 第二同型定理

4 第三同型定理

5 3つの定理の統一的な見方

6 まとめ

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