群論まとめ：定義・定理・証明を一覧で整理【学部代数学】

群論の全体像を一記事で．群の公理からSylowの定理・有限アーベル群の構造定理まで，学部代数学に必要な定義・定理・証明を体系的にまとめた．各定理の依存関係図付き．

2026年2月27日

1. はじめに：この記事の使い方

この記事は，学部レベルの群論（代数学の教科書1冊分）を一記事で俯瞰することを目的とする．各トピックについて，定義・主要定理・証明スケッチを簡潔にまとめる．

使い方：

初学者 → セクション順に読み進め，群論の全体像を掴むとよい
復習・試験対策 → 目次から必要なセクションへジャンプされたい
定理の確認 → セクション13「群論の定理一覧」で主要定理を一覧できる

以下の依存関係図は，各トピックがどのように繋がっているかを示す．

graph TD
    A["群の公理と基本性質"] --> B["部分群と生成"]
    B --> C["剰余類とラグランジュの定理"]
    C --> D["正規部分群と商群"]
    A --> E["準同型写像"]
    D --> E
    E --> F["同型定理"]
    D --> F
    A --> G["群作用"]
    C --> G
    G --> H["共役と類等式"]
    H --> I["Sylowの定理"]
    C --> I
    G --> I
    B --> J["直積と有限アーベル群の構造定理"]
    I --> J
    D --> K["単純群とJordan-Hölderの定理"]
    F --> K

    style A fill:#f5f5f5,stroke:#333,color:#000
    style I fill:#f5f5f5,stroke:#333,color:#000
    style J fill:#f5f5f5,stroke:#333,color:#000
    style K fill:#f5f5f5,stroke:#333,color:#000

注意 1.

本記事は「群論教科書」シリーズの各記事と連携している．各セクション末尾のリンクから，体系的な解説・証明に進むことができる．

2. 群の公理と基本性質

定義 2 (群).

集合

G

と二項演算

\cdot : G \times G \to G

の組

(G, \cdot)

が群（group）であるとは，次の3条件を満たすことをいう：

結合法則：任意の $a, b, c \in G$ に対して $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
単位元の存在：ある $e \in G$ が存在して，任意の $a \in G$ に対して $e \cdot a = a \cdot e = a$
逆元の存在：任意の $a \in G$ に対して， $a \cdot b = b \cdot a = e$ なる $b \in G$ が存在

定理 3 (単位元と逆元の一意性).

群

G

において，単位元は一意であり，各元

a

の逆元も一意である．

証明.

単位元の一意性：

e, e^{'}

がともに単位元ならば

e = e \cdot e^{'} = e^{'}

である．逆元の一意性：

b, b^{'}

がともに

a

の逆元ならば

b = b \cdot (a \cdot b^{'}) = (b \cdot a) \cdot b^{'} = b^{'}

である． □

定理 4 (消約法則).

群

G

において

ab = a c \Rightarrow b = c

（左消約），

ba = c a \Rightarrow b = c

（右消約）が成り立つ．

基本的な群の例：

$(Z, +)$ ：整数の加法群．単位元は $0$ ， $a$ の逆元は $- a$
$(S_{n}, \circ)$ ： $n$ 次対称群（ $n$ 文字の置換全体）． $∣ S_{n} ∣ = n!$
$(G L_{n} (R), \cdot)$ ： $n$ 次一般線型群（正則行列全体）
$(D_{n}, \circ)$ ：正 $n$ 角形の二面体群． $∣ D_{n} ∣ = 2 n$
$(Z / n Z, +)$ ： $n$ を法とする剰余類の加法群．位数 $n$ の巡回群
$(V_{4}, \cdot)$ ：クラインの四元群 ${e, a, b, ab}$ ． $a^{2} = b^{2} = (ab)^{2} = e$

定義 5 (アーベル群).

群

G

が任意の

a, b \in G

に対して

ab = ba

を満たすとき，アーベル群（可換群）という．

注意 6.

Z

，

Z / n Z

，

V_{4}

はアーベル群である．

S_{n}

（

n \geq 3

），

D_{n}

（

n \geq 3

），

G L_{n} (R)

（

n \geq 2

）は非可換群である．

→ 詳しくは：

https://interconnectd.app/articles/nGcgO388h1vV9qXN0gik

3. 部分群と生成

定義 7 (部分群).

群

G

の空でない部分集合

H

が

G

の演算で群になるとき，

H

を

G

の部分群といい，

H \leq G

と書く．

定理 8 (部分群の判定法).

空でない部分集合

H \subseteq G

について，次は同値である：

$H \leq G$
任意の $a, b \in H$ に対して $a b^{- 1} \in H$ （一段階判定法）
$e \in H$ かつ，任意の $a, b \in H$ に対して $ab \in H$ および $a^{- 1} \in H$ （二段階判定法）

定義 9 (生成される部分群).

S \subseteq G

に対して，

S

を含む最小の部分群を

⟨ S ⟩

と書き，

S

で生成される部分群という．

G = ⟨ g ⟩

となる元

g

が存在するとき，

G

は巡回群であるという．

定理 10 (巡回群の分類).

巡回群は

Z

（無限巡回群）または

Z / n Z

（位数

n

の巡回群）に同型である．

定義 11 (元の位数).

a \in G

に対して，

a^{n} = e

となる最小の正整数

n

を

a

の位数（order）といい，

ord (a) = n

と書く．そのような

n

が存在しないとき

ord (a) = \infty

とする．

命題 12.

ord (a) = n

のとき，

a^{k} = e ⟺ n ∣ k

が成り立つ．

4. 剰余類とラグランジュの定理

定義 13 (剰余類).

H \leq G

，

a \in G

に対して

a H = {ah ∣ h \in H} （左剰余類）, H a = {ha ∣ h \in H} （右剰余類）

左剰余類の個数

[G : H] = ∣ G / H ∣

を

G

における

H

の指数という．

注意 14.

左剰余類全体

{a H ∣ a \in G}

は

G

の分割（partition）を与える．つまり，異なる2つの左剰余類は共通部分を持たず，その和集合は

G

全体である．

定理 15 (ラグランジュの定理).

有限群

G

の部分群

H

に対して

∣ G ∣ = [G : H] \cdot ∣ H ∣

特に

∣ H ∣

は

∣ G ∣

を割り切る．

証明.

各左剰余類

a H

は

∣ H ∣

個の元を持つ（

ℓ_{a} : H \to a H

h \mapsto ah

が全単射）．左剰余類は

G

の分割であるから

∣ G ∣ = [G : H] \cdot ∣ H ∣

である． □

重要な系：

系 16.

有限群

G

の元

a

の位数

ord (a)

は

∣ G ∣

を割り切る．特に

a^{∣ G ∣} = e

である．

系 17.

素数

p

を位数に持つ群

G

は巡回群である（

G ≅ Z / p Z

）．

系 18 (フェルマーの小定理).

素数

p

と

g cd (a, p) = 1

なる整数

a

に対して

a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)

である．

証明.

(Z / p Z)^{\times}

は位数

p - 1

の群で，

a mod p

はその元である．ラグランジュの定理の系1より

a^{p - 1} \equiv 1

である． □

→ 詳しくは：

https://interconnectd.app/articles/tn1vvFT7SsGHFRgYPZ8l

5. 正規部分群と商群

定義 19 (正規部分群).

部分群

N \leq G

が正規部分群であるとは，すべての

g \in G

に対して

g N = N g

が成り立つことをいう．

N ⊴ G

と書く．

命題 20 (正規部分群の同値条件).

N \leq G

に対して，次は同値である：

$N ⊴ G$ （ $g N = N g$ for all $g$ ）
任意の $g \in G$ に対して $g N g^{- 1} = N$
任意の $g \in G$ ， $n \in N$ に対して $g n g^{- 1} \in N$
$N$ はある準同型写像の核である

定義 21 (商群).

N ⊴ G

のとき，剰余類の集合

G / N = {g N ∣ g \in G}

に積

(a N) (b N) = (ab) N

を定めると，

G / N

は群になる．この群を商群という．

自然な射影 $π : G \to G / N$ （ $g \mapsto g N$ ）は全射準同型で， $ker π = N$ である：

注意 22.

商群の構成が well-defined になるのは，正規部分群に限る．

H \leq G

が正規でないとき，代表元の選び方によって

(a H) (b H)

の値が変わり，積が矛盾なく定義できない．

→ 詳しくは：

https://interconnectd.app/articles/llqLZ00HXcvk4frf5Nfu

6. 準同型写像

定義 23 (群準同型).

群

G, H

の間の写像

φ : G \to H

が群準同型（homomorphism）であるとは

φ (ab) = φ (a) φ (b) (\forall a, b \in G)

が成り立つことをいう．

命題 24 (自動保存).

φ : G \to H

が群準同型ならば：

$φ (e_{G}) = e_{H}$ （単位元の保存）
$φ (a^{- 1}) = φ (a)^{- 1}$ （逆元の保存）

証明.

(1)

φ (e_{G}) = φ (e_{G} \cdot e_{G}) = φ (e_{G}) φ (e_{G})

の両辺に

φ (e_{G})^{- 1}

を掛けて

e_{H} = φ (e_{G})

である．(2)

φ (a) φ (a^{- 1}) = φ (a a^{- 1}) = φ (e_{G}) = e_{H}

より

φ (a^{- 1}) = φ (a)^{- 1}

である． □

定義 25 (核と像).

準同型

φ : G \to H

に対して：

ker φ Im φ = {g \in G ∣ φ (g) = e_{H}} （核） = {φ (g) ∣ g \in G} （像）

命題 26.

ker φ ⊴ G

（核は正規部分群），

Im φ \leq H

（像は部分群）である．

命題 27.

φ

が単射

⟺

ker φ = {e_{G}}

である．

基本的な準同型の例：

自然な射影 $π : Z \to Z / n Z$ ， $ker π = n Z$
符号準同型 $sgn : S_{n} \to {+ 1, - 1}$ ， $ker (sgn) = A_{n}$ （交代群）
行列式 $det : G L_{n} (R) \to R^{*}$ ， $ker (det) = S L_{n} (R)$ （特殊線型群）

→ 詳しくは：

https://interconnectd.app/articles/6Sxz3VUjTjt7Lbmh17BS

7. 同型定理

graph LR
    A["第一同型定理<br/>G/ker φ ≅ Im φ"] --> B["第二同型定理<br/>HN/N ≅ H/(H∩N)"]
    A --> C["第三同型定理<br/>(G/N)/(H/N) ≅ G/H"]
    D["準同型写像の核と像"] --> A
    E["正規部分群と商群"] --> A

    style A fill:#f5f5f5,stroke:#333,color:#000

定理 28 (第一同型定理).

φ : G \to H

を群準同型とするとき

G / ker φ ≅ Im φ

証明.

\overset{φ}{ˉ} (g ker φ) = φ (g)

で写像を定める．

g ker φ = g^{'} ker φ

ならば

g^{- 1} g^{'} \in ker φ

より

φ (g) = φ (g^{'})

（well-defined）．準同型性・単射性（

\overset{φ}{ˉ} (g ker φ) = e_{H} \Rightarrow g \in ker φ

）・全射性はいずれも直接確認できる． □

定理 29 (第二同型定理（ダイアモンド同型定理）).

H \leq G

，

N ⊴ G

のとき

H N / N ≅ H / (H \cap N)

証明.

φ : H \to H N / N

，

h \mapsto h N

は全射準同型で，

ker φ = H \cap N

である．第一同型定理を適用する． □

定理 30 (第三同型定理).

N ⊴ G

，

H ⊴ G

，

N \subseteq H

のとき

(G / N) / (H / N) ≅ G / H

証明.

φ : G / N \to G / H

，

g N \mapsto g H

は全射準同型で，

ker φ = H / N

である．第一同型定理を適用する． □

→ 詳しくは：

https://interconnectd.app/articles/6Sxz3VUjTjt7Lbmh17BS

8. 群作用

定義 31 (群作用).

群

G

が集合

X

に（左）作用するとは，写像

G \times X \to X

（

(g, x) \mapsto g \cdot x

）が次を満たすことをいう：

$e \cdot x = x$
$(g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$

注意 32.

群作用は群準同型

ρ : G \to Bij (X)

と同一視できる．

定義 33 (軌道と固定部分群).

G

が

X

に作用するとき：

Orb (x) Stab (x) = {g \cdot x ∣ g \in G} （ x の軌道） = {g \in G ∣ g \cdot x = x} （ x の固定部分群，安定化群）

Stab (x)

は

G

の部分群である．

定理 34 (軌道–固定部分群定理).

∣ Orb (x) ∣ = [G : Stab (x)] = \frac{∣ G ∣}{∣ Stab ( x ) ∣}

証明.

G / Stab (x) \to Orb (x)

，

g Stab (x) \mapsto g \cdot x

が well-defined な全単射であることを示す． □

定理 35 (ケイリーの定理).

任意の群

G

は，ある対称群

S_{X}

の部分群と同型である．

G

が有限群なら

G

は

S_{∣ G ∣}

の部分群と同型である．

証明.

G

は左乗法によって自分自身に作用する（

g \cdot x = gx

）．この作用から得られる準同型

ρ : G \to S_{G}

は単射である（

ρ (g) = id \Rightarrow gx = x

for all

x

，よって

g = e

）． □

定理 36 (バーンサイドの補題).

有限群

G

が有限集合

X

に作用するとき，軌道の数は

∣ X / G ∣ = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum ∣ X^{g} ∣

ここで

X^{g} = {x \in X ∣ g \cdot x = x}

は

g

の固定点集合である．

→ 詳しくは：

https://interconnectd.app/articles/E7H9zqCYQAoBE2fJ1etO

9. 共役と類等式

定義 37 (共役).

a, b \in G

が共役であるとは，ある

g \in G

が存在して

b = g a g^{- 1}

となることをいう．共役は同値関係であり，その同値類を共役類という．

$G$ が自分自身に共役で作用する（ $g \cdot x = gx g^{- 1}$ ）．このとき：

$a$ の軌道 $= a$ の共役類 $Cl (a) = {g a g^{- 1} ∣ g \in G}$
$a$ の固定部分群 $= a$ の中心化群 $C_{G} (a) = {g \in G ∣ g a = a g}$

定義 38 (群の中心).

Z (G) = {z \in G ∣ z g = g z for all g \in G} = ⋂_{a \in G} C_{G} (a)

を

G

の中心という．

Z (G) ⊴ G

である．

注意 39.

a \in Z (G) ⟺ Cl (a) = {a}

（共役類が1元集合）である．

定理 40 (類等式).

有限群

G

に対して

∣ G ∣ = ∣ Z (G) ∣ + i \sum [G : C_{G} (a_{i})]

ここで右辺の和は，元の数が2以上の共役類からそれぞれ1つの代表元

a_{i}

を選んで取る．

証明.

軌道–固定部分群定理より

∣ Cl (a) ∣ = [G : C_{G} (a)]

である．

G

は共役類に分割されるから，元が1つの共役類（

= Z (G)

）と2つ以上の共役類を分けて数えれば類等式が得られる． □

定理 41 (

p

群の中心).

素数

p

に対して，

∣ G ∣ = p^{n}

（

n \geq 1

）なる群（

p

群）では

Z (G) \neq = {e}

である．

証明.

類等式において

∣ G ∣ = p^{n}

であり，各

[G : C_{G} (a_{i})]

は

∣ G ∣

の約数で2以上であるから

p

の倍数である．よって

∣ Z (G) ∣ = ∣ G ∣ - \sum_{i} [G : C_{G} (a_{i})] \equiv 0 (mod p)

である．

e \in Z (G)

より

∣ Z (G) ∣ \geq 1

であるから

∣ Z (G) ∣ \geq p

である． □

系 42.

位数

p^{2}

の群はアーベル群である．

証明.

∣ Z (G) ∣ \in {p, p^{2}}

である．

∣ Z (G) ∣ = p^{2}

なら

G = Z (G)

でアーベル群である．

∣ Z (G) ∣ = p

なら

G / Z (G)

は位数

p

の巡回群で，

G / Z (G) = ⟨ g Z (G)⟩

となる．任意の

a, b \in G

を

a = g^{i} z_{1}

，

b = g^{j} z_{2}

（

z_{1}, z_{2} \in Z (G)

）と書けば

ab = ba

となり，

G

がアーベル群であることが分かる．これは

∣ Z (G) ∣ = p

に矛盾するから

∣ Z (G) ∣ = p^{2}

である． □

→ 詳しくは：

https://interconnectd.app/articles/E7H9zqCYQAoBE2fJ1etO

10. Sylowの定理

graph TD
    A["ラグランジュの定理"] --> B["コーシーの定理"]
    B --> C["Sylow 第一定理"]
    D["類等式"] --> B
    E["群作用<br/>(軌道–固定部分群定理)"] --> C
    C --> F["Sylow 第二定理"]
    C --> G["Sylow 第三定理"]
    E --> F
    E --> G

    style C fill:#f5f5f5,stroke:#333,color:#000
    style F fill:#f5f5f5,stroke:#333,color:#000
    style G fill:#f5f5f5,stroke:#333,color:#000

定理 43 (コーシーの定理).

有限群

G

の位数

∣ G ∣

が素数

p

で割り切れるならば，

G

は位数

p

の元を持つ．

証明.

集合

S = {(a_{1}, \dots, a_{p}) \in G^{p} ∣ a_{1} a_{2} \dots a_{p} = e}

に巡回群

Z / p Z

が巡回シフトで作用する．

∣ S ∣ = ∣ G ∣^{p - 1}

であるから

p ∣ ∣ S ∣

である．固定点は

(a, a, \dots, a)

（

a^{p} = e

）の形であり，

e

以外の固定点が存在することから位数

p

の元が得られる． □

以下， $∣ G ∣ = p^{n} m$ （ $p ∤ m$ ）とする．位数 $p^{n}$ の部分群を $G$ のSylow $p$ -部分群といい，その全体の集合を $Syl_{p} (G)$ ，個数を $n_{p} = ∣ Syl_{p} (G) ∣$ と書く．

定理 44 (Sylow 第一定理).

Sylow

p

-部分群は存在する．すなわち

Syl_{p} (G) \neq = \emptyset

である．

定理 45 (Sylow 第二定理).

G

の任意の2つの Sylow

p

-部分群は共役である．すなわち

P, Q \in Syl_{p} (G)

ならばある

g \in G

が存在して

Q = g P g^{- 1}

である．

定理 46 (Sylow 第三定理).

n_{p} \equiv 1 (mod p)

かつ

n_{p} ∣ m

（

= ∣ G ∣/ p^{n}

）である．

注意 47.

Sylow 第二定理より，

n_{p} = 1 ⟺

Sylow

p

-部分群が正規部分群である，が成り立つ．

応用例：

例 48.

位数

15 = 3 \times 5

の群

G

を分類する．

n_{3} ∣ 5

かつ

n_{3} \equiv 1 (mod 3)

より

n_{3} \in {1, 5}

であるが

5 \neq \equiv 1 (mod 3)

であるから

n_{3} = 1

である．

n_{5} ∣ 3

かつ

n_{5} \equiv 1 (mod 5)

より

n_{5} = 1

である．

Sylow

3

-部分群

P ≅ Z /3 Z

と Sylow

5

-部分群

Q ≅ Z /5 Z

はともに正規で

P \cap Q = {e}

である．よって

G ≅ P \times Q ≅ Z /3 Z \times Z /5 Z ≅ Z /15 Z

である．位数15の群は巡回群に限る．

→ 詳しくは：

https://interconnectd.app/articles/0UQnFtypsveWpjr3RUF1

11. 直積と有限アーベル群の構造定理

定義 49 (直積).

群

G_{1}, G_{2}

の直積

G_{1} \times G_{2}

は，集合としての直積に成分ごとの演算

(a_{1}, a_{2}) (b_{1}, b_{2}) = (a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2})

を定めた群である．

命題 50 (内部直積の判定).

G

の正規部分群

N_{1}, N_{2}

が

N_{1} \cap N_{2} = {e}

かつ

G = N_{1} N_{2}

を満たすとき，

G ≅ N_{1} \times N_{2}

である．

定理 51 (有限アーベル群の基本定理).

有限アーベル群

G

は巡回群の直積に分解できる：

G ≅ Z / p_{1}^{e_{1}} Z \times Z / p_{2}^{e_{2}} Z \times \dots \times Z / p_{k}^{e_{k}} Z

ここで

p_{i}

は素数（重複を許す），

e_{i} \geq 1

である．この分解は因子の順序を除いて一意である．

例 52.

位数

12

のアーベル群は次の2種類に限る：

$Z /4 Z \times Z /3 Z ≅ Z /12 Z$ （巡回群）
$Z /2 Z \times Z /2 Z \times Z /3 Z ≅ Z /2 Z \times Z /6 Z$

12 = 2^{2} \times 3

であり，

2^{2}

の分割

{(4), (2, 2)}

に対応して2つの型が得られる．

注意 53.

Z / m Z \times Z / n Z ≅ Z / mn Z

が成り立つのは

g cd (m, n) = 1

のときかつそのときに限る（中国式剰余定理）．

→ 詳しくは：

https://interconnectd.app/articles/CpYICnsMZQ3f3hdA0Lqb

https://interconnectd.app/articles/Y1MprpTmWos5QbdA1LoS

12. 単純群とJordan-Hölderの定理

定義 54 (単純群).

群

G

が単純群（simple group）であるとは，

G \neq = {e}

であり，

G

の正規部分群が

{e}

と

G

のみであることをいう．

例 55.

素数位数の巡回群

Z / p Z

は単純群である（ラグランジュの定理より部分群が

{e}

と

G

のみ）．

定理 56 (

A_{n}

の単純性).

n \geq 5

のとき，交代群

A_{n}

は単純群である．

定義 57 (組成列).

群

G

の組成列（composition series）とは，部分群の列

{e} = G_{0} ⊴ G_{1} ⊴ \dots ⊴ G_{k} = G

であって，各商群

G_{i + 1} / G_{i}

が単純群であるもののことである．

G_{i + 1} / G_{i}

を組成因子（composition factor）という．

定理 58 (Jordan-Hölderの定理).

有限群

G \neq = {e}

は組成列を持つ．さらに，

G

の任意の2つの組成列は，（順序を適切に並べ替えれば）同じ組成因子を持つ．

注意 59.

Jordan-Hölderの定理は，群の「素因数分解」の一意性を保証している．整数が素数の積に一意に分解されるように，有限群は単純群から（組成列を通じて）一意的に組み立てられる．有限単純群の分類は20世紀数学の大偉業の一つである．

→ 詳しくは：

https://interconnectd.app/articles/f1fOJyNTcCMDYzsN2rfQ

https://interconnectd.app/articles/9tEaghWGm1Ba5ufiC68M

13. 群論の定理一覧

学部群論で登場する主要15定理の一行サマリーである．

消約法則： $ab = a c \Rightarrow b = c$
ラグランジュの定理： $∣ H ∣$ は $∣ G ∣$ を割る
フェルマーの小定理： $p$ が素数， $g cd (a, p) = 1$ なら $a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)$
巡回群の分類：巡回群は $Z$ または $Z / n Z$ に同型
第一同型定理： $G / ker φ ≅ Im φ$
第二同型定理： $H N / N ≅ H / (H \cap N)$
第三同型定理： $(G / N) / (H / N) ≅ G / H$
ケイリーの定理：任意の群は対称群の部分群に同型
軌道–固定部分群定理： $∣ Orb (x) ∣ = [G : Stab (x)]$
バーンサイドの補題： $∣ X / G ∣ = \frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g} ∣ X^{g} ∣$
類等式： $∣ G ∣ = ∣ Z (G) ∣ + \sum_{i} [G : C_{G} (a_{i})]$
コーシーの定理： $p ∣ ∣ G ∣$ なら位数 $p$ の元が存在する
Sylow 第一定理：Sylow $p$ -部分群は存在する
Sylow 第二定理：任意の2つの Sylow $p$ -部分群は共役
Sylow 第三定理： $n_{p} \equiv 1 (mod p)$ かつ $n_{p} ∣ [G : P]$

さらに構造論的な結果として：

有限アーベル群の基本定理：素数べき巡回群の直積に一意分解
Jordan-Hölderの定理：組成因子は（順序を除いて）一意

14. 付録：記号と用語一覧

記号	読み	意味
$∣ G ∣$	$G$ の位数	群 $G$ の元の個数
$ord (a)$	$a$ の位数	$a^{n} = e$ となる最小の正整数 $n$
$H \leq G$	$H$ は $G$ の部分群	$H$ が $G$ の演算で群をなす
$N ⊴ G$	$N$ は $G$ の正規部分群	すべての $g$ に対して $g N g^{- 1} = N$
$[G : H]$	指数	$G$ における $H$ の剰余類の個数
$G / N$	商群	$N$ による剰余類全体の群
$ker φ$	核	$φ (g) = e_{H}$ なる $g$ 全体
$Im φ$	像	$φ (g)$ 全体
$G ≅ H$	同型	同型写像 $G \to H$ が存在
$⟨ S ⟩$	$S$ で生成される部分群	$S$ を含む最小の部分群
$Z (G)$	中心	すべての元と可換な元の集合
$C_{G} (a)$	中心化群	$a$ と可換な $G$ の元の集合
$Orb (x)$	軌道	$G$ の作用による $x$ の像全体
$Stab (x)$	固定部分群	$x$ を動かさない元の集合
$S_{n}$	対称群	$n$ 文字の置換全体
$A_{n}$	交代群	$S_{n}$ の偶置換全体
$D_{n}$	二面体群	正 $n$ 角形の合同変換群
$G L_{n} (R)$	一般線型群	$n$ 次正則行列全体
$S L_{n} (R)$	特殊線型群	行列式1の正則行列全体
$Syl_{p} (G)$	Sylow $p$ -部分群の集合	位数 $p^{n}$ の部分群全体
$n_{p}$	Sylow $p$ -部分群の個数	$∣ Syl_{p} (G) ∣$

群論代数学まとめ定理一覧 Sylowの定理同型定理群作用

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群論まとめ：定義・定理・証明を一覧で整理【学部代数学】

1. はじめに：この記事の使い方

2. 群の公理と基本性質

3. 部分群と生成

4. 剰余類とラグランジュの定理

5. 正規部分群と商群

6. 準同型写像

7. 同型定理

8. 群作用

9. 共役と類等式

10. Sylowの定理

11. 直積と有限アーベル群の構造定理

12. 単純群とJordan-Hölderの定理

13. 群論の定理一覧

14. 付録：記号と用語一覧

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