群の定義と基本性質 ― 群論の出発点を固める

群の公理的定義から出発し，単位元・逆元の一意性，消約法則，べき乗の性質を証明します．さらに部分群の判定法，巡回群の構造，元の位数まで，群論の土台を一つずつ積み上げる教科書スタイルの解説です．

2026年2月27日

1. 群の公理

定義 1 (群).

集合

G

と二項演算

\cdot : G \times G \to G

の組

(G, \cdot)

が群（group）であるとは，次の3条件を満たすことをいう：

結合法則：任意の $a, b, c \in G$ に対して $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ ．
単位元の存在：ある $e \in G$ が存在して，任意の $a \in G$ に対して $e \cdot a = a \cdot e = a$ ．
逆元の存在：任意の $a \in G$ に対して， $a \cdot b = b \cdot a = e$ なる $b \in G$ が存在する．

以下，群の演算を単に $ab$ と並置で書き，単位元を $e$ ， $a$ の逆元を $a^{- 1}$ と書く．

定義 2 (アーベル群).

群

(G, \cdot)

がさらに任意の

a, b \in G

に対して

ab = ba

を満たすとき，

G

をアーベル群（可換群）という．

2. 基本的な例

群の定義が意味するところを具体例で確認しよう．

例 3 (整数の加法群).

(Z, +)

は群である．結合法則は明らか，単位元は

0

，

a

の逆元は

- a

である．さらに

a + b = b + a

なのでアーベル群である．

例 4 (一般線型群).

G L_{n} (R) = {A \in M_{n} (R) ∣ det A \neq = 0}

は行列の積で群をなす．単位元は単位行列

I_{n}

，逆元は逆行列

A^{- 1}

である．

n \geq 2

では

A B \neq = B A

となる行列が存在するので，非可換群である．

例 5 (対称群).

集合

{1, 2, \dots, n}

の全単射全体を

S_{n}

と書く．写像の合成を演算とすると

S_{n}

は群をなし， $n$ 次対称群という．

∣ S_{n} ∣ = n!

であり，

n \geq 3

で非可換である．

例 6 (剰余類の加法群).

n

を正の整数とする．

Z / n Z = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \dots, \overline{n - 1}}

に

\overset{a}{ˉ} + \overset{ˉ}{b} = \overline{a + b}

で演算を定めると，アーベル群になる．

例 7 (自明な群).

集合

{e}

に

e \cdot e = e

と定めると群になる．これを自明群（trivial group）という．

3. 単位元と逆元の一意性

群の公理は単位元と逆元の「存在」しか要求しない．しかし，実際にはこれらは一意に定まる．

定理 8 (単位元の一意性).

群

G

の単位元は一意である．

証明.

e

と

e^{'}

がともに単位元であるとする．

e

が単位元であることから

e \cdot e^{'} = e^{'}

である．一方，

e^{'}

が単位元であることから

e \cdot e^{'} = e

である．よって

e = e^{'}

． □

定理 9 (逆元の一意性).

群

G

の各元

a

に対して，逆元

a^{- 1}

は一意である．

証明.

b

と

c

がともに

a

の逆元であるとする．すなわち

ab = ba = e

かつ

a c = c a = e

とする．このとき

b = b e = b (a c) = (ba) c = ec = c .

□

定理 10 (逆元の逆元).

群

G

の任意の元

a

に対して

(a^{- 1})^{- 1} = a

である．

証明.

a^{- 1}

の逆元とは

a^{- 1} x = x a^{- 1} = e

を満たす

x

のことである．

a^{- 1} a = a a^{- 1} = e

が成り立つので

x = a

． □

定理 11 (積の逆元).

群

G

の任意の元

a, b

に対して

(ab)^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1}

である．

証明.

(ab) (b^{- 1} a^{- 1}) = a (b b^{- 1}) a^{- 1} = a e a^{- 1} = a a^{- 1} = e

を確認すればよい．同様に

(b^{- 1} a^{- 1}) (ab) = e

． □

4. 消約法則

定理 12 (消約法則).

群

G

において次が成り立つ：

左消約： $ab = a c \Rightarrow b = c$
右消約： $ba = c a \Rightarrow b = c$

証明.

(1)

ab = a c

の両辺に左から

a^{- 1}

を掛ける：

a^{- 1} (ab) = a^{- 1} (a c) ⟹ (a^{- 1} a) b = (a^{- 1} a) c ⟹ e b = ec ⟹ b = c .

(2) も同様に右から

a^{- 1}

を掛ければよい． □

定理 13 (方程式の可解性).

群

G

において，任意の

a, b \in G

に対して方程式

a x = b

および

y a = b

はそれぞれ一意な解を持つ．

証明.

a x = b

の解は

x = a^{- 1} b

である．実際

a (a^{- 1} b) = (a a^{- 1}) b = e b = b

．一意性は消約法則から従う．

y a = b

も同様に

y = b a^{- 1}

が一意な解． □

注意 14.

この定理は群の本質的な特徴づけを与えている：結合法則を持つ代数系（半群）で

a x = b

と

y a = b

が常に解けるならば，その代数系は群である（これを群の「公理」として採用する流儀もある）．

5. べき乗と元の位数

定義 15 (べき乗).

群

G

の元

a

と整数

n

に対して，べき乗

a^{n}

を次で定める：

$a^{0} = e$
$n > 0$ のとき $a^{n} = n 個 a \cdot a \dots a$
$n < 0$ のとき $a^{n} = (a^{- 1})^{∣ n ∣}$

定理 16 (べき乗の法則).

群

G

の元

a

と整数

m, n

に対して次が成り立つ：

$a^{m + n} = a^{m} a^{n}$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$

証明.

(1)

m, n \geq 0

の場合は帰納法で明らか．

m < 0, n \geq 0

で

∣ m ∣ \leq n

の場合，

a^{m} a^{n} = (a^{- 1})^{∣ m ∣} a^{n} = a^{n - ∣ m ∣} = a^{m + n}

．他の場合も同様に場合分けで確認できる．(2) も同様． □

定義 17 (元の位数).

群

G

の元

a

に対して，

a^{n} = e

を満たす最小の正整数

n

が存在するとき，

n

を

a

の位数（order）といい，

ord (a) = n

または

∣ a ∣ = n

と書く．そのような正整数が存在しないとき，

a

は無限位数を持つといい，

ord (a) = \infty

と書く．

例 18.

Z /6 Z

において，

ord (\overset{ˉ}{1}) = 6

，

ord (\overset{ˉ}{2}) = 3

，

ord (\overset{ˉ}{3}) = 2

，

ord (\overset{ˉ}{0}) = 1

．

例 19.

(Z, +)

において，

0

以外のすべての元は無限位数を持つ．

定理 20 (位数とべき乗の関係).

ord (a) = n < \infty

とする．このとき

a^{k} = e ⟺ n ∣ k

．

証明.

(\Leftarrow)

：

k = n q

なら

a^{k} = (a^{n})^{q} = e^{q} = e

．

(\Rightarrow)

：

k = n q + r

（

0 \leq r < n

）と書く．

a^{k} = e

より

a^{r} = a^{k - n q} = a^{k} (a^{n})^{- q} = e \cdot e = e

．

r < n

かつ

n

は

a^{n} = e

を満たす最小の正整数なので

r = 0

．すなわち

n ∣ k

． □

6. 部分群

定義 21 (部分群).

群

G

の空でない部分集合

H

が

G

の演算に関してそれ自身群になるとき，

H

を

G

の部分群（subgroup）といい，

H \leq G

と書く．

H \neq = {e}

かつ

H \neq = G

のとき真の部分群（proper subgroup）といい，

H < G

と書く．

部分群であることを直接定義から確かめるのは煩雑なので，次の判定法が便利である．

定理 22 (部分群判定法（一段階判定法）).

群

G

の空でない部分集合

H

が部分群であるための必要十分条件は，任意の

a, b \in H

に対して

a b^{- 1} \in H

が成り立つことである．

証明.

(\Rightarrow)

：

H

が部分群なら

b \in H \Rightarrow b^{- 1} \in H

であり，

a, b^{- 1} \in H \Rightarrow a b^{- 1} \in H

．

(\Leftarrow)

：

H \neq = \emptyset

より元

a \in H

が取れる．

a a^{- 1} = e \in H

（

a = b

の場合）．

b \in H

に対して

e b^{- 1} = b^{- 1} \in H

（

a = e

の場合）．

a, b \in H

ならば

b^{- 1} \in H

なので

a (b^{- 1})^{- 1} = ab \in H

（閉性）．結合法則は

G

から継承される． □

定理 23 (有限部分群の判定法).

群

G

の空でない有限部分集合

H

が部分群であるための必要十分条件は，

H

が演算に関して閉じていること（

a, b \in H \Rightarrow ab \in H

）である．

証明.

(\Rightarrow)

は明らか．

(\Leftarrow)

：

a \in H

を取る．

a, a^{2}, a^{3}, \dots

はすべて

H

に属し，

H

は有限なので

a^{i} = a^{j}

となる

i < j

が存在する．消約法則より

a^{j - i} = e

，すなわち

e \in H

．さらに

a^{j - i - 1} = a^{- 1} \in H

（

j - i \geq 2

のとき）．

j - i = 1

なら

a = e

なので

a^{- 1} = e \in H

． □

例 24 (部分群の例).

任意の群 $G$ に対して ${e}$ と $G$ は $G$ の部分群である（自明な部分群）．
$(Z, +)$ の部分群は $n Z = {nk ∣ k \in Z}$ （ $n = 0, 1, 2, \dots$ ）に限る（後述）．
$S L_{n} (R) = {A \in G L_{n} (R) ∣ det A = 1}$ は $G L_{n} (R)$ の部分群（特殊線型群）．
$S_{n}$ の偶置換全体 $A_{n}$ は $S_{n}$ の部分群（交代群）， $∣ A_{n} ∣ = n! /2$ ．

定理 25 (部分群の共通部分).

群

G

の部分群の族

{H_{i}}_{i \in I}

に対して，

⋂_{i \in I} H_{i}

も

G

の部分群である．

証明.

e

はすべての

H_{i}

に属するので

⋂ H_{i} \neq = \emptyset

．

a, b \in ⋂ H_{i}

ならば各

i

に対して

a, b \in H_{i}

であり，

H_{i}

が部分群なので

a b^{- 1} \in H_{i}

．よって

a b^{- 1} \in ⋂ H_{i}

． □

注意 26.

部分群の「和集合」は一般に部分群にならない．例えば

2 Z \cup 3 Z

は

Z

の部分群ではない（

2 + 3 = 5 \in / 2 Z \cup 3 Z

）．

7. 生成と巡回群

定義 27 (生成される部分群).

群

G

の部分集合

S

に対して，

S

を含む

G

の部分群全体の共通部分を

⟨ S ⟩

と書き，

S

で生成される部分群という．

⟨ S ⟩ = S \subseteq H \leq G ⋂ H

定理 28.

⟨ S ⟩

は

S

の元とその逆元の有限個の積全体に等しい：

⟨ S ⟩ = {a_{1}^{ε_{1}} a_{2}^{ε_{2}} \dots a_{k}^{ε_{k}} ∣ k \geq 0, a_{i} \in S, ε_{i} = \pm 1}

ここで

k = 0

のときは空の積で

e

を意味する．

証明.

右辺を

T

とおく．

T

が部分群であること，

S \subseteq T

であること，

S

を含む任意の部分群が

T

を含むことを確認すればよい．

T

は閉性を持つ（2つの積を連結すればよい）．

e \in T

（

k = 0

）．

a_{1}^{ε_{1}} \dots a_{k}^{ε_{k}}

の逆元は

a_{k}^{- ε_{k}} \dots a_{1}^{- ε_{1}} \in T

．よって

T

は部分群．

a \in S

は

k = 1, ε_{1} = 1

に対応するので

S \subseteq T

．

S \subseteq H \leq G

ならば

H

は積・逆元で閉じているので

T \subseteq H

．よって

T = ⟨ S ⟩

． □

定義 29 (巡回群).

群

G

がある元

a \in G

によって

G = ⟨ a ⟩

と生成されるとき，

G

を巡回群（cyclic group）という．

a

を

G

の生成元（generator）という．

巡回群 $⟨ a ⟩$ は $a$ のべき乗全体 ${a^{n} ∣ n \in Z}$ に等しい．

定理 30 (巡回群の構造).

$ord (a) = \infty$ ならば $⟨ a ⟩ ≅ Z$ （加法群として同型）．
$ord (a) = n < \infty$ ならば $⟨ a ⟩ = {e, a, a^{2}, \dots, a^{n - 1}}$ ， $∣ ⟨ a ⟩ ∣ = n$ ，かつ $⟨ a ⟩ ≅ Z / n Z$ ．

証明.

(1)

φ : Z \to ⟨ a ⟩

を

φ (k) = a^{k}

で定めると，

φ (m + n) = a^{m + n} = a^{m} a^{n} = φ (m) φ (n)

より準同型．

ord (a) = \infty

より

a^{m} = a^{n} \Rightarrow a^{m - n} = e \Rightarrow m = n

なので単射．全射は定義から明らか．よって

φ

は同型写像．

(2)

a^{0} = e, a^{1}, \dots, a^{n - 1}

がすべて異なることを示す．

a^{i} = a^{j}

（

0 \leq i < j \leq n - 1

）とすると

a^{j - i} = e

かつ

0 < j - i < n

となり，位数の最小性に矛盾．よって

∣ ⟨ a ⟩ ∣ = n

．同型は

φ : Z / n Z \to ⟨ a ⟩

，

φ (\overset{ˉ}{k}) = a^{k}

で与えられる（well-defined性は前節の定理から従う）． □

定理 31 (巡回群の部分群).

巡回群の部分群はすべて巡回群である．

証明.

G = ⟨ a ⟩

とし，

H \leq G

とする．

H = {e}

なら

H = ⟨ e ⟩

で巡回群．

H \neq = {e}

とすると，

H

に属する

a

の正の冪のうち最小のものを

d

とする（

H

には

a^{k}

（

k \neq = 0

）が属し，

a^{k} \in H \Rightarrow a^{- k} \in H

なので正の冪が取れる）．

a^{m} \in H

ならば

m = d q + r

（

0 \leq r < d

）と書くと

a^{r} = a^{m} (a^{d})^{- q} \in H

．

d

の最小性より

r = 0

，すなわち

d ∣ m

．よって

H = ⟨ a^{d} ⟩

． □

定理 32 (巡回群の生成元の数).

∣ G ∣ = n

の巡回群

G = ⟨ a ⟩

に対して，

a^{k}

が

G

の生成元であるための必要十分条件は

g cd (k, n) = 1

である．したがって

G

の生成元は

φ (n)

個ある（

φ

はオイラー関数）．

証明.

ord (a^{k}) = n / g cd (k, n)

であることを示せばよい．

d = g cd (k, n)

とおく．

(a^{k})^{n / d} = a^{kn / d} = (a^{n})^{k / d} = e

なので

ord (a^{k}) ∣ n / d

．逆に

(a^{k})^{m} = e

ならば

n ∣ km

，すなわち

(n / d) ∣ (k / d) m

．

g cd (n / d, k / d) = 1

なので

(n / d) ∣ m

．よって

ord (a^{k}) = n / d

．

ord (a^{k}) = n ⟺ d = 1 ⟺ g cd (k, n) = 1

． □

8. 群の位数

定義 33 (群の位数).

群

G

の集合としての濃度

∣ G ∣

を

G

の位数（order）という．

∣ G ∣ < \infty

のとき

G

を有限群，

∣ G ∣ = \infty

のとき無限群という．

例 34.

∣ S_{n} ∣ = n!

，

∣ Z / n Z ∣ = n

，

∣ D_{n} ∣ = 2 n

（

n

角形の二面体群），

∣ (Z, +) ∣ = \infty

．

定理 35 (元の位数と群の位数).

有限群

G

の元

a

に対して

ord (a)

は

∣ G ∣

の約数である．特に

a^{∣ G ∣} = e

．

証明.

⟨ a ⟩

は

G

の部分群で

∣ ⟨ a ⟩ ∣ = ord (a)

．ラグランジュの定理（次の記事で証明する）により

∣ ⟨ a ⟩ ∣

は

∣ G ∣

を割り切る．よって

∣ G ∣ = ord (a) \cdot m

と書け，

a^{∣ G ∣} = (a^{ord (a)})^{m} = e^{m} = e

． □

9. 群準同型の基礎

後の記事で詳しく扱うが，ここでは定義と基本性質を述べておく．

定義 36 (群準同型).

群

G, G^{'}

に対して，写像

φ : G \to G^{'}

が

φ (ab) = φ (a) φ (b) (\forall a, b \in G)

を満たすとき，

φ

を群準同型（group homomorphism）という．

定理 37 (準同型の基本性質).

φ : G \to G^{'}

を群準同型とする．

$φ (e_{G}) = e_{G^{'}}$
$φ (a^{- 1}) = φ (a)^{- 1}$
$φ (a^{n}) = φ (a)^{n}$ （ $n \in Z$ ）

証明.

(1)

φ (e_{G}) = φ (e_{G} e_{G}) = φ (e_{G}) φ (e_{G})

．両辺に

φ (e_{G})^{- 1}

を掛けて

e_{G^{'}} = φ (e_{G})

．

(2)

φ (a) φ (a^{- 1}) = φ (a a^{- 1}) = φ (e_{G}) = e_{G^{'}}

より

φ (a^{- 1}) = φ (a)^{- 1}

．

(3)

n \geq 0

では帰納法．

n < 0

では (2) を用いる． □

定義 38 (核と像).

群準同型

φ : G \to G^{'}

に対して，

$ker φ = {a \in G ∣ φ (a) = e_{G^{'}}}$ を $φ$ の核（kernel）
$Im φ = {φ (a) ∣ a \in G}$ を $φ$ の像（image）

という．

ker φ \leq G

かつ

Im φ \leq G^{'}

である．

定理 39 (単射性と核).

群準同型

φ : G \to G^{'}

が単射であるための必要十分条件は

ker φ = {e_{G}}

である．

証明.

(\Rightarrow)

：

φ (a) = e_{G^{'}} = φ (e_{G})

ならば単射性より

a = e_{G}

．

(\Leftarrow)

：

φ (a) = φ (b)

ならば

φ (a b^{- 1}) = φ (a) φ (b)^{- 1} = e_{G^{'}}

より

a b^{- 1} \in ker φ = {e_{G}}

，すなわち

a = b

． □

10. まとめと次のステップ

本記事では群論の基礎を系統的に整理した：

群の公理と基本的な例
単位元・逆元の一意性，消約法則，方程式の可解性
べき乗の法則と元の位数
部分群の定義と判定法
巡回群の構造と部分群
群準同型の定義と基本性質

次の記事では，部分群による群の「分割」を考える．これが剰余類の概念であり，ラグランジュの定理 ― 有限群論で最も基本的な定理 ― へと繋がる．

群論代数学教科書群の定義部分群巡回群

Folio公式

数学の「教科書が書かない行間」をLaTeXで．Folio公式アカウントです．

0 followers·105 articles

群の定義と基本性質 ― 群論の出発点を固める

1. 群の公理

2. 基本的な例

3. 単位元と逆元の一意性

4. 消約法則

5. べき乗と元の位数

6. 部分群

7. 生成と巡回群

8. 群の位数

9. 群準同型の基礎

10. まとめと次のステップ

Share your expertise with the world

More from Folio公式

Folio LaTeXの基本 ― 標準LaTeXとの違いと始め方

カタラン数はなぜどこにでも現れるのか ― 括弧列・二分木・格子経路の不思議な一致

漸化式と母関数 ― 数列を「関数」にすると何が見えるか

包除原理はなぜ「足して引いて」を繰り返すのか ― ベン図からメビウス関数へ