素数の分布 ― 素数定理への道
素数計数関数$\pi(x)$を定義し，チェビシェフの評価から素数定理$\pi(x) \sim x / \ln x$に至る道筋を解説する．メルテンスの定理，ディリクレの算術級数定理の主張，双子素数予想など素数分布の深い結果を紹介する．
1 素数計数関数
定義 1 (素数計数関数).
実数 に対して を素数計数関数（prime-counting function）という．
例 2.
（素数 ），，，．
素数の分布を理解する中心的な問題はの漸近挙動を明らかにすることである．
2 チェビシェフの評価
定義 3 (チェビシェフ関数).
，（ はフォン・マンゴルト関数）をチェビシェフ関数という．
定理 4 (チェビシェフの評価).
正の定数 が存在して，十分大きな に対して
より精密には （ が十分大）．
証明.
二項係数 を用いる．（）かつ （スターリングの近似から）．一方 なる素数 はすべて を割り切るので ．対数を取って ．これを繰り返し適用して ，すなわち ．下界は の素因数分解のより精密な解析から従う． □
3 素数定理
定理 5 (素数定理).
すなわち ．
注意 6.
素数定理は1896年にアダマールとド・ラ・ヴァレー・プーサンにより独立に証明された．証明にはリーマンゼータ関数 の解析的性質が本質的に用いられる．特に for という事実が鍵となる．より精密な近似は対数積分 で与えられ， が成り立つ．
定理 7 (素数定理の同値な定式化).
以下は互いに同値である：
．
．
．
（ は 番目の素数）．
証明.
と の関係はアーベル和分公式（部分和分法）により
と表せる． を代入して評価すれば が従い，逆も同様に示せる． □
4 メルテンスの定理
定理 8 (メルテンスの定理).
（ はメルテンス定数）．
（ はオイラー・マスケローニ定数）．
注意 9.
メルテンスの第一の定理は，素数の逆数の和が の速さで発散することを示す．これはユークリッドの定理（素数の無限性）の定量的な精密化と見なせる．
5 ディリクレの算術級数定理
定理 10 (ディリクレの算術級数定理).
ならば，等差数列 の中に素数が無限に存在する．
注意 11.
この定理の証明にはディリクレ -関数 （ はディリクレ指標）の解析的性質が必要であり，特に （）が本質的に使われる．より精密には （各既約剰余類に素数が等分布する）が成り立つ．
6 未解決問題
注意 12.
素数の分布に関する主要な未解決問題：
双子素数予想： と がともに素数であるような は無限に存在するか．Zhang（2013）は が無限に成り立つことを証明し，Maynard-Tao により間隔は まで改善されている．
リーマン予想： かつ ならば ．これが成り立てば が導かれる．
ゴールドバッハ予想： 以上の偶数はすべて2つの素数の和として表せるか．