$p$進付値と局所的手法入門 ― 素数ごとに整数を見る

$p$進付値$v_p(n)$と$p$進絶対値を定義し，オストロフスキーの定理を紹介する．$p$進整数$\mathbb{Z}_p$の構成，ヘンゼルの補題，局所-大域原理を解説する．

2026年2月27日

1 $p$ 進付値

定義 1 (

p

進付値).

素数

p

と

0

でない整数

n

に対して，

p^{k} ∣ n

かつ

p^{k + 1} ∤ n

なる非負整数

k

を

n

の $p$ 進付値（

p

-adic valuation）といい，

v_{p} (n)

と書く．

v_{p} (0) = + \infty

と定める．有理数

r = a / b

（

b \neq = 0

）に対して

v_{p} (r) = v_{p} (a) - v_{p} (b)

と拡張する．

定理 2 (

p

進付値の性質).

0

でない有理数

x, y

に対して

$v_{p} (x y) = v_{p} (x) + v_{p} (y)$ （乗法性）．
$v_{p} (x + y) \geq min (v_{p} (x), v_{p} (y))$ （超加法性）．等号は $v_{p} (x) \neq = v_{p} (y)$ のとき成立．

証明.

(1)

x = p^{a} \cdot u

，

y = p^{b} \cdot v

（

g cd (u, p) = g cd (v, p) = 1

）とすると

x y = p^{a + b} uv

で

g cd (uv, p) = 1

より

v_{p} (x y) = a + b

．

(2)

v_{p} (x) = a

，

v_{p} (y) = b

で

a \leq b

とする．

x + y = p^{a} (u + p^{b - a} v)

で

v_{p} (x + y) \geq a = min (a, b)

．

a < b

のとき

u + p^{b - a} v \equiv u \neq \equiv 0 (mod p)

より

v_{p} (x + y) = a

． □

注意 3.

算術の基本定理は次のように再解釈できる：

0

でない整数

n

は

n = \pm \prod_{p} p^{v_{p} (n)}

と一意的に表される（有限個の

p

を除いて

v_{p} (n) = 0

）．

2 $p$ 進絶対値

定義 4 (

p

進絶対値).

0

でない有理数

x

に対して

∣ x ∣_{p} = p^{- v_{p} (x)}

と定め，

∣0 ∣_{p} = 0

とする．これを

x

の $p$ 進絶対値（

p

-adic absolute value）という．

定理 5 (

p

進絶対値の性質).

$∣ x ∣_{p} \geq 0$ で $∣ x ∣_{p} = 0 ⟺ x = 0$ ．
$∣ x y ∣_{p} = ∣ x ∣_{p} ∣ y ∣_{p}$ ．
$∣ x + y ∣_{p} \leq max (∣ x ∣_{p}, ∣ y ∣_{p})$ （超距離不等式）．

注意 6.

(3) は通常の三角不等式

∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

よりも強い．この性質を満たす絶対値を非アルキメデス的という．

3 オストロフスキーの定理

定理 7 (オストロフスキーの定理).

Q

上の非自明な絶対値は，通常の絶対値

∣ \cdot ∣_{\infty}

またはある素数

p

に対する

p

進絶対値

∣ \cdot ∣_{p}

のいずれかと同値である．

注意 8.

この定理は「

Q

を完備化する方法は

R

（

∣ \cdot ∣_{\infty}

による完備化）と

Q_{p}

（

∣ \cdot ∣_{p}

による完備化）に限られる」ことを意味する．すべての素数

p

と

\infty

を合わせた素点の集合は，整数論の大域的構造を支配する．

4 $p$ 進整数 $Z_{p}$

定義 9 (

p

進整数).

∣ x ∣_{p} \leq 1

を満たす

p

進数

x \in Q_{p}

全体を $p$ 進整数環（ring of

p

-adic integers）といい，

Z_{p}

と書く．形式的には

Z_{p} = lim Z / p^{n} Z

（射影極限）として構成できる：

Z_{p} = {(a_{n})_{n \geq 1} \in n = 1 \prod \infty Z / p^{n} Z a_{n + 1} \equiv a_{n} (mod p^{n}) for all n} .

定理 10.

Z_{p}

は整域であり，その商体は

Q_{p}

．

Z_{p}

の唯一の極大イデアルは

p Z_{p}

であり，

Z_{p} / p Z_{p} ≅ Z / p Z

である（

Z_{p}

は離散付値環）．

5 ヘンゼルの補題

定理 11 (ヘンゼルの補題).

f (x) \in Z_{p} [x]

とし，

a \in Z_{p}

が

∣ f (a) ∣_{p} < ∣ f^{'} (a) ∣_{p}^{2}

を満たすとする．このとき

f (α) = 0

かつ

∣ α - a ∣_{p} \leq ∣ f (a) / f^{'} (a) ∣_{p} < ∣ f^{'} (a) ∣_{p}

なる

α \in Z_{p}

がただ一つ存在する．

証明.

Newton 法の類似

a_{n + 1} = a_{n} - f (a_{n}) / f^{'} (a_{n})

が

p

進位相で収束することを示す．超距離不等式により

∣ a_{n + 1} - a_{n} ∣_{p}

が急速に

0

に近づき，

∣ f (a_{n}) ∣_{p}

は2倍の速さで減少する（二次収束）．

Z_{p}

の完備性により極限

α = lim a_{n}

が存在し

f (α) = 0

． □

例 12.

p = 7

のとき

f (x) = x^{2} - 2

を考える．

a = 3

とすると

f (3) = 7

，

f^{'} (3) = 6

，

∣ f (3) ∣_{7} = 1/7 < 1 = ∣ f^{'} (3) ∣_{7}^{2}

．ヘンゼルの補題より

2 \in Z_{7}

が存在する．すなわち

2

は

7

進整数の中で平方根を持つ．

6 局所-大域原理

注意 13.

局所-大域原理（Hasse 原理）とは，方程式が

Q

上で解を持つことと，

R

上およびすべての

Q_{p}

上で解を持つことが同値であるという主張である．二次形式に対してはハッセ-ミンコフスキーの定理により成立するが，一般の方程式では成立しない（反例として

3 x^{3} + 4 y^{3} + 5 z^{3} = 0

が知られている）．

整数論代数学教科書 p進数付値

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$p$進付値と局所的手法入門 ― 素数ごとに整数を見る

1 $p$ 進付値

2 $p$ 進絶対値

3 オストロフスキーの定理

4 $p$ 進整数 $Z_{p}$

5 ヘンゼルの補題

6 局所-大域原理

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1 p進付値

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