群作用 — 群が世界を「動かす」とき

群はそれ自体で抽象的な代数構造ですが，集合に「作用」させることで初めて具体的な力を発揮します．軌道・固定部分群・バーンサイドの補題を通じて，群作用が数え上げ問題を解く威力を体感しましょう．

2026年2月27日

群論を学んでいくと，ある時点で「群作用」という概念が登場します．教科書は定義を述べ，いくつかの例を示し，軌道や固定部分群に進みます．しかし，そもそもなぜ群を集合に「作用させる」のでしょうか？ 群だけで十分ではないのでしょうか？

答えは，群作用が群の「正体」を暴く最強の道具だからです．群は抽象的な公理の集まりですが，何かに作用させることで，その群が何を動かすものなのかが見えてきます．

1 群作用の定義

定義 1.

群

G

が集合

X

に（左）作用するとは，写像

G \times X \to X

（

(g, x) \mapsto g \cdot x

と書きます）が次の2条件を満たすことをいいます：

$e \cdot x = x$ （単位元は何もしない）
$(g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$ （続けて作用 = 積で作用）

条件2は「 $h$ で動かしてから $g$ で動かすのは， $g h$ で一度に動かすのと同じ」という意味です．

注意 2.

条件2を書き直すと，写像

ρ : G \to Bij (X)

（

ρ (g) (x) = g \cdot x

）が群準同型になることと同値です．つまり群作用とは，群から置換群への準同型写像にほかなりません．

これがCayleyの定理（任意の群は置換群の部分群と同型）の背景にある見方です．

2 群作用の典型例

例1：正方形への二面体群の作用

$D_{4}$ が正方形の頂点集合 $X = {1, 2, 3, 4}$ に自然に作用します． $90°$ 回転 $r$ は $1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 1$ ，反転 $s$ は頂点を入れ替えます．

例2：共役作用

任意の群 $G$ は自分自身に共役で作用します： $g \cdot x = gx g^{- 1}$ ．条件を確認すると

$e \cdot x = e x e^{- 1} = x$ ✓
$(g h) \cdot x = (g h) x (g h)^{- 1} = g (h x h^{- 1}) g^{- 1} = g \cdot (h \cdot x)$ ✓

この作用は群の内部構造を分析する強力な道具となります（類等式など）．

例3：剰余類への左乗法作用

部分群 $H \leq G$ に対して， $G$ は左剰余類の集合 $G / H = {g H ∣ g \in G}$ に左乗法で作用します： $g \cdot (a H) = (g a) H$ ．これは前回までに見た商群とは異なり， $H$ が正規でなくても定義できます．

3 軌道と固定部分群

群作用が与えられたとき， $X$ の各元に対して2つの重要な概念が現れます．

定義 3.

G

が

X

に作用するとき，

x \in X

に対して

Orb (x) Stab (x) = {g \cdot x ∣ g \in G} （ x の 軌道 ） = {g \in G ∣ g \cdot x = x} （ x の 固定部分群 ）

軌道は「 $x$ を動かして到達できる点の全体」，固定部分群は「 $x$ を動かさない元の全体」です．

定理 4.

Stab (x)

は

G

の部分群です．

証明.

g, h \in Stab (x)

のとき，

(g h^{- 1}) \cdot x = g \cdot (h^{- 1} \cdot x) = g \cdot x = x

です．よって

g h^{- 1} \in Stab (x)

です． □

4 軌道–固定部分群定理

軌道と固定部分群の間には美しい関係があります．

定理 5 (軌道–固定部分群定理).

∣ Orb (x) ∣ = [G : Stab (x)] = \frac{∣ G ∣}{∣ Stab ( x ) ∣}

つまり「 $x$ が動ける先の数」と「 $G$ を $Stab (x)$ で割った指数」が一致します．

これは次の全単射から従います：

証明.

f : G / Stab (x) \to Orb (x)

を

f (g Stab (x)) = g \cdot x

で定めます．

well-defined：

g Stab (x) = g^{'} Stab (x)

ならば

g^{- 1} g^{'} \in Stab (x)

，つまり

(g^{- 1} g^{'}) \cdot x = x

です．よって

g^{'} \cdot x = g \cdot x

です．

単射：

g \cdot x = g^{'} \cdot x

ならば

(g^{- 1} g^{'}) \cdot x = x

，つまり

g^{- 1} g^{'} \in Stab (x)

です．

全射：定義より明らかです． □

例 6.

D_{4}

が正方形の頂点集合

{1, 2, 3, 4}

に作用します．頂点

1

について：

$Orb (1) = {1, 2, 3, 4}$ （すべての頂点に到達可能）
$Stab (1) = {e, s^{'}}$ （頂点1を固定する操作は恒等変換と，頂点1を通る対角線での反転）
$∣ Orb (1) ∣ = 4 = 8/2 = ∣ D_{4} ∣/∣ Stab (1) ∣$ ✓

5 バーンサイドの補題

群作用の華とも言える応用が，バーンサイドの補題（正確にはコーシー–フロベニウスの定理）です．

定理 7 (バーンサイドの補題).

有限群

G

が有限集合

X

に作用するとき，軌道の数

∣ X / G ∣

は

∣ X / G ∣ = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum ∣ X^{g} ∣

ここで

X^{g} = {x \in X ∣ g \cdot x = x}

は

g

の固定点集合です．

日本語で言えば：「本質的に異なるパターンの数」= 各操作の固定点数の平均です．

証明.

集合

S = {(g, x) \in G \times X ∣ g \cdot x = x}

の元を2通りに数えます．

x

を固定して数えると

∣ S ∣ = \sum_{x \in X} ∣ Stab (x) ∣

です．

g

を固定して数えると

∣ S ∣ = \sum_{g \in G} ∣ X^{g} ∣

です．

軌道–固定部分群定理より

∣ Stab (x) ∣ = ∣ G ∣/∣ Orb (x) ∣

ですので

x \in X \sum ∣ Stab (x) ∣ = x \in X \sum \frac{∣ G ∣}{∣ Orb ( x ) ∣} = ∣ G ∣ x \in X \sum \frac{1}{∣ Orb ( x ) ∣}

各軌道

O

は

∣ O ∣

個の元からなり，それぞれが

1/∣ O ∣

を寄与しますので

\sum_{x \in O} 1/∣ O ∣ = 1

です．よって

∣ G ∣ x \in X \sum \frac{1}{∣ Orb ( x ) ∣} = ∣ G ∣ \cdot ∣ X / G ∣

したがって

∣ G ∣ \cdot ∣ X / G ∣ = \sum_{g \in G} ∣ X^{g} ∣

，すなわち

∣ X / G ∣ = \frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g \in G} ∣ X^{g} ∣

です． □

6 応用：立方体の面を3色で塗る方法

例 8.

立方体の6つの面を赤・青・緑の3色で塗ります．回転で移り合う塗り方は同じとみなすとき，本質的に異なる塗り方は何通りでしょうか．

$X$ = 「6面への3色塗り」の全体 = $3^{6} = 729$ 通りです． $G$ = 立方体の回転群（位数24）です．

$G$ の元を分類して，各元の固定点数 $∣ X^{g} ∣$ を計算します：

恒等変換（1個）：すべての塗り方を固定します． $∣ X^{g} ∣ = 3^{6} = 729$
面の中心を通る軸での $90°$ / $270°$ 回転（6個）：回転軸に垂直な4面が同色になります． $∣ X^{g} ∣ = 3^{3} = 27$
面の中心を通る軸での $180°$ 回転（3個）：対面が同色になります． $∣ X^{g} ∣ = 3^{4} = 81$
対角線を通る軸での $120°$ / $240°$ 回転（8個）：軸の周りの3面ずつが同色になります． $∣ X^{g} ∣ = 3^{2} = 9$ （対角の2頂点の周りの3面ずつが各グループ同色， $3 \times 3$ 通り）
対辺の中点を通る軸での $180°$ 回転（6個）：2面ずつ3組が入れ替わります． $∣ X^{g} ∣ = 3^{3} = 27$

バーンサイドの補題より

∣ X / G ∣ = \frac{1}{24} (1 \times 729 + 6 \times 27 + 3 \times 81 + 8 \times 9 + 6 \times 27) = \frac{1}{24} (729 + 162 + 243 + 72 + 162) = \frac{1368}{24} = 57

答えは57通りです．

729通りの塗り方を1つずつ比較するのは非現実的ですが，群作用の理論を使えば体系的に計算できます．これが群作用の威力です．

7 まとめ

群作用は，抽象的な群を「具体的に働かせる」ための枠組みです．軌道–固定部分群定理は群の位数と作用の幾何学を結びつけ，バーンサイドの補題は「対称性を考慮した数え上げ」を可能にします．群論が純粋な代数にとどまらず，組合せ論・幾何学・物理学に広く応用される理由は，まさにこの「作用」という概念にあります．

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群作用 — 群が世界を「動かす」とき

1 群作用の定義

2 群作用の典型例

3 軌道と固定部分群

4 軌道–固定部分群定理

5 バーンサイドの補題

6 応用：立方体の面を3色で塗る方法

7 まとめ

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