連立一次方程式と掃き出し法 ― 行列の言葉で方程式を解く

連立一次方程式 Ax=b を行列の言葉で定式化し，行基本変形と RREF の理論，解空間の構造（特殊解＋核）を体系的に証明する．

2026年2月27日

1 行列による定式化

$m$ 個の方程式， $n$ 個の未知数からなる連立一次方程式

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} ⋮ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{mn} x_{n} = b_{m}

は，行列

A = (a_{ij}) \in M_{m \times n} (K)

，

x = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}

，

b = (b_{1}, \dots, b_{m})^{T}

を用いて

A x = b

と書ける．

b = 0

のとき斉次（homogeneous），

b \neq = 0

のとき非斉次（nonhomogeneous）という．

2 行基本変形

定義 1 (行基本変形).

行列に対する次の3種類の操作を行基本変形（elementary row operation）という：

第 $i$ 行と第 $j$ 行の交換 $R_{i} \leftrightarrow R_{j}$
第 $i$ 行を $c$ 倍する $R_{i} \to c R_{i}$ （ $c \neq = 0$ ）
第 $i$ 行に第 $j$ 行の $c$ 倍を加える $R_{i} \to R_{i} + c R_{j}$

定理 2.

行基本変形は連立方程式の解集合を変えない．

証明.

各行基本変形は可逆（同じ型の行基本変形で元に戻せる）であり，同値な方程式系を与える． □

注意 3.

各行基本変形は正則行列（基本行列）の左からの積に対応する．

3 行簡約階段形（RREF）

定義 4 (行簡約階段形).

行列が行簡約階段形（reduced row echelon form, RREF）であるとは：

零行はすべて下にある
各非零行の最初の非零成分（ピボット）は $1$ である
ピボットは上の行ほど左にある
ピボットを含む列では，ピボット以外の成分はすべて $0$

定理 5.

任意の行列は行基本変形の繰り返しで RREF に変換できる．さらに RREF は一意に定まる．

例 6.

123246102328 R_{2} - 2 R_{1} 103206 1 - 2 2 3 - 4 8 R_{3} - 3 R_{1} 100200 1 - 2 - 1 3 - 4 - 1

- \frac{1}{2} R_{2} 100200 11 - 1 32 - 1 R_{3} + R_{2} 100200110 32 - 3

ここからさらに掃き出して RREF に到達する．

4 解空間の構造

定理 7 (斉次方程式の解空間).

A x = 0

の解全体

ker A

は

K^{n}

の部分空間であり，

dim ker A = n - rank A

である．

証明.

ker A

が部分空間であることは線形写像の核として示される．次元公式

dim K^{n} = dim ker A + dim Im A

より

dim ker A = n - rank A

． □

定理 8 (非斉次方程式の解の構造).

A x = b

が解

x_{0}

を持つとき，一般解は

x = x_{0} + ker A = {x_{0} + h ∣ h \in ker A}

と書ける（特殊解

+

斉次方程式の一般解）．

証明.

A x = b

かつ

A x_{0} = b

ならば

A (x - x_{0}) = 0

，すなわち

x - x_{0} \in ker A

．逆に

h \in ker A

ならば

A (x_{0} + h) = A x_{0} + A h = b + 0 = b

． □

例 9.

A = (111213), b = (36)

拡大係数行列の RREF：

(11121336) \to (1001 - 1 2 03)

ピボット列：第1,2列．自由変数：

x_{3} = t

．特殊解

x_{0} = (0, 3, 0)^{T}

．

ker A = span {(1, - 2, 1)^{T}}

一般解：

x = (t, 3 - 2 t, t)^{T} = (0, 3, 0)^{T} + t (1, - 2, 1)^{T}

．

5 解の存在条件

定理 10.

A x = b

が解を持つための必要十分条件は

rank A = rank (A ∣ b)

である．

定理 11.

n

元連立方程式

A x = b

（

A

は

m \times n

）について：

解が存在する $⟺$ $rank A = rank (A ∣ b)$
解が存在するとき，解が一意 $⟺$ $rank A = n$
解が存在するとき，解は $n - rank A$ 個の自由変数を持つ

線形代数代数学教科書連立方程式掃き出し法 RREF

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連立一次方程式と掃き出し法 ― 行列の言葉で方程式を解く

1 行列による定式化

2 行基本変形

3 行簡約階段形（RREF）

4 解空間の構造

5 解の存在条件

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