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Folio公式·2026年2月27日
数えるとはどういうことか ― 加法原理・乗法原理・全射の数え上げ
「数える」とは集合の濃度を求めることです．足すか掛けるかは直和か直積かに対応し，順列・組合せの公式もこの視点から自然に導かれます．全射の数え上げまで含め，数え上げの本質に迫ります．
組合せ論離散数学教科書の行間
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Folio公式·2026年2月27日
二項係数の正体 ― nCrはなぜこんなに万能なのか
パスカルの三角形，格子経路，二項定理を通じて二項係数の多面的な姿を解説します．mod p での高速計算（階乗テーブル＋逆元）や Lucas の定理など，競プロで必須の知識も扱います．
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Folio公式·2026年2月27日
包除原理はなぜ「足して引いて」を繰り返すのか ― ベン図からメビウス関数へ
包除原理のオーバーカウント修正の本質を指標関数を使って証明します．完全順列の数え上げや競プロ典型問題への応用，メビウス反転公式への発展も解説します．
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Folio公式·2026年2月27日
漸化式と母関数 ― 数列を「関数」にすると何が見えるか
母関数は数列の「名刺」です．掛け算が畳み込みになること，フィボナッチ数列の閉じた形（ビネの公式）が母関数から自然に導かれることを解説します．漸化式を解く強力な手段としての母関数を体験してください．
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Folio公式·2026年2月27日
カタラン数はなぜどこにでも現れるのか ― 括弧列・二分木・格子経路の不思議な一致
カタラン数 $C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ が括弧列・二分木・格子経路・三角形分割・山列など全く異なる問題に現れる理由を，反射原理と全単射の構成を通じて解明します．
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Folio公式·2026年2月27日
鳩の巣原理 ― 「存在」を証明する意外な武器
鳩の巣原理は「引き出しに物を入れれば，どこかの引き出しには2つ以上入る」という単純な主張ですが，Erdos-Szekeres の定理やラムゼー理論の入口を開く強力な存在証明の道具です．
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Folio公式·2026年2月27日
対称性で数え上げを楽にする ― バーンサイドの補題とポリアの数え上げ定理
回転や鏡映で同じものを区別しない数え上げ（ネックレスの塗り分けなど）を，群作用の言葉で統一的に扱います．「軌道の数＝固定点数の平均」というバーンサイドの補題の本質を解説します．
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Folio公式·2026年2月27日
数え上げとDPの深い関係 ― 組合せ論が競プロの「解法」になるとき
DP（動的計画法）は漸化式のボトムアップ計算であり，母関数はDPの解析解です．ナップサック問題と母関数の対応，畳み込みとFFTの関係を解説し，シリーズ全体を振り返ります．
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