準同型定理 ― 群の構造を見抜く3つの定理

第一同型定理（準同型の像は商群に同型）を中心に，第二・第三同型定理を証明します．各定理の意味を可換図式で整理し，具体例で計算の実際を示す，群論の最重要定理群の教科書的解説です．

2026年2月27日

1 導入

群準同型 $φ : G \to G^{'}$ が与えられたとき， $φ$ の核と像の間にどのような関係があるだろうか．第一同型定理は

G / ker φ ≅ Im φ

という驚くほど明快な答えを与える．この定理は群論の全体を貫く基本原理であり，第二・第三同型定理はそのバリエーションである．

2 第一同型定理

定理 1 (第一同型定理).

φ : G \to G^{'}

を群準同型とする．このとき

G / ker φ ≅ Im φ

が成り立つ．より正確には，

\overset{φ}{ˉ} : G / ker φ \to Im φ

，

\overset{φ}{ˉ} (g ker φ) = φ (g)

は同型写像である．

証明.

N = ker φ

とおく．

well-defined：

g N = g^{'} N

ならば

g^{- 1} g^{'} \in N = ker φ

なので

φ (g^{- 1} g^{'}) = e

，すなわち

φ (g) = φ (g^{'})

．よって

\overset{φ}{ˉ} (g N) = \overset{φ}{ˉ} (g^{'} N)

．

準同型：

\overset{φ}{ˉ} (g N \cdot h N) = \overset{φ}{ˉ} ((g h) N) = φ (g h) = φ (g) φ (h) = \overset{φ}{ˉ} (g N) \overset{φ}{ˉ} (h N)

．

単射：

\overset{φ}{ˉ} (g N) = e^{'} \Rightarrow φ (g) = e^{'} \Rightarrow g \in ker φ = N \Rightarrow g N = N

．よって

ker \overset{φ}{ˉ} = {N}

．

全射：

φ (g) \in Im φ

に対して

\overset{φ}{ˉ} (g N) = φ (g)

． □

注意 2.

第一同型定理は次のように分解できる．任意の群準同型

φ : G \to G^{'}

は

G π G / ker φ \overset{φ}{ˉ} Im φ ↪ G^{'}

と3つの写像の合成に分解される：全射（標準射影），同型（

\overset{φ}{ˉ}

），単射（包含写像）．

3 第一同型定理の応用

例 3 (行列式と商群).

det : G L_{n} (R) \to R^{\times}

は全射準同型であり，

ker (det) = S L_{n} (R)

．第一同型定理より

G L_{n} (R) / S L_{n} (R) ≅ R^{\times}

例 4 (符号と交代群).

sgn : S_{n} \to {+ 1, - 1}

は全射準同型であり，

ker (sgn) = A_{n}

．第一同型定理より

S_{n} / A_{n} ≅ Z /2 Z

例 5 (指数写像).

exp : (R, +) \to (R_{> 0}, \times)

，

x \mapsto e^{x}

は同型写像（全単射準同型）．

ker (exp) = {0}

であり，第一同型定理は

R / {0} ≅ R_{> 0}

，すなわち自明な同型を与える．

例 6 (

Z

の商群).

φ : Z \to Z / n Z

，

φ (k) = \overset{ˉ}{k}

は全射準同型で

ker φ = n Z

．第一同型定理より

Z / n Z ≅ Z / n Z

（自明だが，

Z / n Z

という記法の整合性を確認できる）．

例 7 (直積の射影).

G = G_{1} \times G_{2}

とし，

π_{1} : G \to G_{1}

，

π_{1} (g_{1}, g_{2}) = g_{1}

を第一成分への射影とする．

π_{1}

は全射準同型で

ker π_{1} = {e_{1}} \times G_{2}

．第一同型定理より

(G_{1} \times G_{2}) / ({e_{1}} \times G_{2}) ≅ G_{1}

4 第二同型定理（ダイヤモンド同型定理）

定理 8 (第二同型定理).

G

を群，

H \leq G

，

N ⊴ G

とする．このとき

$H N = {hn ∣ h \in H, n \in N}$ は $G$ の部分群
$H \cap N ⊴ H$
$H / (H \cap N) ≅ H N / N$

証明.

(1)

h_{1} n_{1}, h_{2} n_{2} \in H N

に対して

(h_{1} n_{1}) (h_{2} n_{2})^{- 1} = h_{1} n_{1} n_{2}^{- 1} h_{2}^{- 1}

．

N ⊴ G

より

n_{1} n_{2}^{- 1} h_{2}^{- 1} = h_{2}^{- 1} n^{'}

（ある

n^{'} \in N

）なので

(h_{1} n_{1}) (h_{2} n_{2})^{- 1} = h_{1} h_{2}^{- 1} n^{'} \in H N

．

(2) 準同型

φ : H \to H N / N

，

φ (h) = h N

を考える（

H \subseteq H N

なので

h N \in H N / N

）．

ker φ = {h \in H ∣ h N = N} = {h \in H ∣ h \in N} = H \cap N

．核は正規部分群なので

H \cap N ⊴ H

．

(3)

φ

は全射（任意の

hn N = h N \in H N / N

に対して

φ (h) = h N

）なので，第一同型定理より

H / (H \cap N) = H / ker φ ≅ Im φ = H N / N

． □

注意 9.

この定理は次の格子図（ダイヤモンド）で表される：

H

と

N

から上に

H N

が生成され，下に

H \cap N

がある．定理は「左辺の商

H / (H \cap N)

」と「右辺の商

H N / N

」が同型であることを主張する．

例 10.

G = Z

，

H = m Z

，

N = n Z

とする．

H N = g cd (m, n) Z

，

H \cap N = lcm (m, n) Z

であり，

m Z / lcm (m, n) Z ≅ g cd (m, n) Z / n Z

5 第三同型定理

定理 11 (第三同型定理).

G

を群，

N ⊴ G

，

M ⊴ G

で

N \leq M

とする．このとき

M / N ⊴ G / N

であり

(G / N) / (M / N) ≅ G / M

証明.

準同型

ψ : G / N \to G / M

，

ψ (g N) = g M

を考える．

well-defined：

g N = g^{'} N

ならば

g^{- 1} g^{'} \in N \leq M

なので

g M = g^{'} M

．

準同型：

ψ (g N \cdot h N) = ψ ((g h) N) = (g h) M = g M \cdot h M = ψ (g N) ψ (h N)

．

全射：任意の

g M \in G / M

に対して

ψ (g N) = g M

．

核：

ker ψ = {g N ∣ g M = M} = {g N ∣ g \in M} = M / N

．

第一同型定理より

(G / N) / (M / N) = (G / N) / ker ψ ≅ Im ψ = G / M

． □

注意 12.

N \leq M

を含む商を重ねても，まとめて1回で割ったのと同じ：分数の約分

\frac{G / N}{M / N} = \frac{G}{M}

の群論版である．

例 13.

G = Z

，

N = 6 Z

，

M = 2 Z

とする．

6 Z \leq 2 Z \leq Z

であり，

(Z /6 Z) / (2 Z /6 Z) ≅ Z /2 Z

左辺は

Z /6 Z = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{2}, \overset{ˉ}{3}, \overset{ˉ}{4}, \overset{ˉ}{5}}

を

2 Z /6 Z = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{2}, \overset{ˉ}{4}}

で割ったもので，

2

元からなる．右辺も

2

元の群．

6 同型定理の使い方

同型定理は以下のような場面で使われる：

商群の同定：「この商群は何に同型か？」に答える．適切な準同型を構成して核を計算し，第一同型定理を適用する．
部分群の位数の計算：第二同型定理から $∣ H N / N ∣ = ∣ H / (H \cap N) ∣ = ∣ H ∣/∣ H \cap N ∣$ が得られ， $∣ H N ∣ = ∣ H ∣ \cdot ∣ N ∣/∣ H \cap N ∣$ を導ける．
商群の商群：第三同型定理により，二重の商を一重に簡約できる．

定理 14 (

∣ H N ∣

の公式).

H, K \leq G

が有限で，

HK = {hk ∣ h \in H, k \in K}

とする．このとき

∣ HK ∣ = \frac{∣ H ∣ \cdot ∣ K ∣}{∣ H \cap K ∣}

証明.

HK

が部分群の場合は第二同型定理から直接従う（

K ⊴ G

なら

∣ HK / K ∣ = ∣ H / (H \cap K) ∣

より

∣ HK ∣/∣ K ∣ = ∣ H ∣/∣ H \cap K ∣

）．

HK

が部分群でない場合も，

HK

の元の数え上げにより同じ公式が成り立つ：

f : H \times K \to HK

，

f (h, k) = hk

の各ファイバーの大きさが

∣ H \cap K ∣

であることから導ける． □

7 まとめ

本記事で扱った内容：

第一同型定理： $G / ker φ ≅ Im φ$
第二同型定理： $H / (H \cap N) ≅ H N / N$
第三同型定理： $(G / N) / (M / N) ≅ G / M$
各定理の具体的な計算例と応用
$∣ HK ∣$ の公式

これら3つの同型定理は，群の構造を解析するための基本的な道具である．次のステップとしては，群作用の理論（軌道・固定部分群・類等式）に進み，そこからシローの定理へと至る．

準同型定理 ― 群の構造を見抜く3つの定理

1 導入

2 第一同型定理

3 第一同型定理の応用

4 第二同型定理（ダイヤモンド同型定理）

5 第三同型定理

6 同型定理の使い方

7 まとめ

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