線形独立・基底・次元 ― ベクトル空間の骨格

線形結合と線形独立の定義から出発し，基底の存在と一意性（Steinitz交換定理），次元の well-definedness を証明する．生成系・線形独立系・基底の関係を明確にする教科書スタイルの解説．

2026年2月27日

1 線形結合と生成

定義 1 (線形結合).

ベクトル空間

V

のベクトル

v_{1}, \dots, v_{n}

と，スカラー

a_{1}, \dots, a_{n} \in K

に対して

a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + \dots + a_{n} v_{n}

を

v_{1}, \dots, v_{n}

の線形結合（linear combination）という．

定義 2 (生成).

S = {v_{1}, \dots, v_{n}} \subseteq V

とする．

S

の全ての線形結合の集合

span (S) = {i = 1 \sum n a_{i} v_{i} a_{i} \in K}

を

S

の生成する部分空間（span）という．

span (S) = V

のとき，

S

は

V

を生成する（

S

は

V

の生成系である）という．

例 3.

R^{3}

において，

span {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}

は

x y

平面

{(x, y, 0)}

である．

(0, 0, 1)

を加えると

span {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} = R^{3}

となる．

2 線形独立と線形従属

定義 4 (線形独立).

ベクトル

v_{1}, \dots, v_{n} \in V

が線形独立（linearly independent）であるとは，

a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + \dots + a_{n} v_{n} = 0 ⟹ a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = 0

が成り立つことをいう．線形独立でないとき線形従属（linearly dependent）という．

定理 5.

v_{1}, \dots, v_{n}

が線形従属であるための必要十分条件は，ある

v_{k}

が残りのベクトルの線形結合で書けることである．

証明.

(\Rightarrow)

線形従属より

\sum a_{i} v_{i} = 0

で

a_{k} \neq = 0

なるものが存在する．

v_{k} = - a_{k}^{- 1} \sum_{i \neq = k} a_{i} v_{i}

．

(\Leftarrow)

v_{k} = \sum_{i \neq = k} b_{i} v_{i}

とすると

\sum_{i \neq = k} b_{i} v_{i} - v_{k} = 0

は自明でない線形関係式である． □

例 6.

v_{1} = (1, 0, 0)

，

v_{2} = (0, 1, 0)

，

v_{3} = (1, 1, 0)

は線形従属である．

v_{3} = v_{1} + v_{2}

だからである．

v_{1} = (1, 0, 0)

，

v_{2} = (0, 1, 0)

，

v_{3} = (0, 0, 1)

は線形独立である．

a_{1} (1, 0, 0) + a_{2} (0, 1, 0) + a_{3} (0, 0, 1) = (0, 0, 0)

から直ちに

a_{1} = a_{2} = a_{3} = 0

．

3 基底

定義 7 (基底).

ベクトル空間

V

のベクトルの組

{v_{1}, \dots, v_{n}}

が

V

の基底（basis）であるとは，次の2条件を同時に満たすことをいう：

${v_{1}, \dots, v_{n}}$ は $V$ を生成する
${v_{1}, \dots, v_{n}}$ は線形独立である

定理 8 (基底による表示の一意性).

{v_{1}, \dots, v_{n}}

が

V

の基底ならば，任意の

v \in V

は

v = a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + \dots + a_{n} v_{n}

と一意に表される．

証明.

生成系であるから存在する．一意性を示す．

v = \sum a_{i} v_{i} = \sum b_{i} v_{i}

ならば

\sum (a_{i} - b_{i}) v_{i} = 0

．線形独立性より

a_{i} - b_{i} = 0

（各

i

），すなわち

a_{i} = b_{i}

． □

定義 9 (座標).

基底

{v_{1}, \dots, v_{n}}

に関する

v = \sum a_{i} v_{i}

の係数の組

(a_{1}, \dots, a_{n})

を

v

の座標（coordinate）という．

4 Steinitz 交換定理

定理 10 (Steinitz 交換定理).

V

をベクトル空間とする．

{v_{1}, \dots, v_{m}}

が

V

を生成し，

{w_{1}, \dots, w_{n}}

が線形独立ならば

n \leq m

が成り立つ．さらに

{v_{1}, \dots, v_{m}}

のうち

n

個を

w_{1}, \dots, w_{n}

で置き換えても

V

を生成する．

証明.

w_{1}

は

v_{1}, \dots, v_{m}

の線形結合で書ける：

w_{1} = \sum_{j = 1}^{m} c_{j} v_{j}

．係数のうち少なくとも一つは

0

でない（

w_{1} \neq = 0

）．番号を付け替えて

c_{1} \neq = 0

としてよい．このとき

v_{1} = c_{1}^{- 1} (w_{1} - \sum_{j = 2}^{m} c_{j} v_{j})

と書けるから，

{w_{1}, v_{2}, \dots, v_{m}}

も

V

を生成する．

この操作を

w_{2}, w_{3}, \dots

に対して順に繰り返す．

k

ステップ目で

w_{k}

を生成系に加え，

v

の一つを除く．

w_{1}, \dots, w_{k}

の線形独立性から，除くべき

v

が常に存在することが保証される．

もし

n > m

ならば，

m

ステップで

v

が尽き，

{w_{1}, \dots, w_{m}}

が生成系となる．しかし

w_{m + 1}

はこの生成系の線形結合で書けるので，

{w_{1}, \dots, w_{m + 1}}

が線形従属となり矛盾．よって

n \leq m

． □

5 次元

定理 11 (基底の元数の一致).

ベクトル空間

V

が有限個の元からなる基底を持つとき，

V

のすべての基底は同じ元数を持つ．

証明.

{v_{1}, \dots, v_{m}}

と

{w_{1}, \dots, w_{n}}

がともに基底とする．前者は生成系で後者は線形独立なので

n \leq m

（Steinitz）．逆も同様で

m \leq n

．よって

m = n

． □

定義 12 (次元).

ベクトル空間

V

の基底の元数を

V

の次元（dimension）といい，

dim V

と書く．基底が有限でないとき

dim V = \infty

と書く．

定理 13.

dim V = n

のとき：

$V$ の線形独立なベクトルは高々 $n$ 本である
$V$ の $n$ 本の線形独立なベクトルは基底をなす
$V$ を生成する $n$ 本のベクトルは基底をなす

証明.

(1) Steinitz 交換定理から直ちに従う．

(2)

{w_{1}, \dots, w_{n}}

が線形独立で

V

を生成しないと仮定する．ある

v \in V

で

v \in / span {w_{1}, \dots, w_{n}}

が存在する．このとき

{w_{1}, \dots, w_{n}, v}

は線形独立だが，これは

n + 1

本の線形独立ベクトルで (1) に矛盾．

(3)

{v_{1}, \dots, v_{n}}

が

V

を生成するが線形従属と仮定する．ある

v_{k}

が残りの線形結合で書けるので除いても

V

を生成する．すると

n - 1

本で

V

を生成するが，基底は

n

本の線形独立系なので Steinitz より

n \leq n - 1

，矛盾． □

例 14.

$dim R^{n} = n$ ：標準基底 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$
$dim K [x]_{\leq n} = n + 1$ ： ${1, x, x^{2}, \dots, x^{n}}$
$dim M_{m \times n} (K) = mn$ ： ${E_{ij}}$ （ $(i, j)$ 成分のみ $1$ ，他は $0$ の行列）

線形独立・基底・次元 ― ベクトル空間の骨格

1 線形結合と生成

2 線形独立と線形従属

3 基底

4 Steinitz 交換定理

5 次元

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