群作用と類等式 ― 群が集合を「動かす」理論

群作用の定義から出発し，軌道・固定部分群・軌道安定化群定理を証明します．バーンサイドの補題，共役と類等式，$p$群の中心が非自明であることの証明まで，シローの定理への準備を完成させます．

2026年2月27日

1 群作用の定義

定義 1 (群作用).

群

G

と集合

X

に対して，写像

G \times X \to X

，

(g, x) \mapsto g \cdot x

が次の2条件を満たすとき，

G

は

X

に（左から）作用する（acts on）という：

$e \cdot x = x$ （任意の $x \in X$ ）
$(g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$ （任意の $g, h \in G$ ， $x \in X$ ）

このとき

X

を

G

-集合という．

2 基本的な例

例 2 (自明な作用).

g \cdot x = x

（すべての

g, x

）で定めると群作用になる．

例 3 (左正則表現).

G

自身への左乗法

g \cdot x = gx

は群作用である．条件 (1)：

e \cdot x = e x = x

，条件 (2)：

(g h) \cdot x = (g h) x = g (h x) = g \cdot (h \cdot x)

．

例 4 (共役作用).

G

が

G

自身に

g \cdot x = gx g^{- 1}

で作用する．条件 (1)：

e \cdot x = e x e^{- 1} = x

，条件 (2)：

(g h) \cdot x = (g h) x (g h)^{- 1} = g (h x h^{- 1}) g^{- 1} = g \cdot (h \cdot x)

．

例 5 (部分群への共役作用).

G

が

G

の部分群の集合に

g \cdot H = g H g^{- 1}

で作用する．

例 6 (剰余類への作用).

H \leq G

とする．

G

が左剰余類の集合

G / H = {g H ∣ g \in G}

に

g \cdot (a H) = (g a) H

で作用する．

例 7 (

S_{n}

の自然な作用).

S_{n}

が

{1, 2, \dots, n}

に

σ \cdot i = σ (i)

で作用する．

3 軌道と固定部分群

定義 8 (軌道).

G

が

X

に作用するとき，

x \in X

の軌道（orbit）を

Orb (x) = G \cdot x = {g \cdot x ∣ g \in G}

と定義する．

定義 9 (固定部分群（安定化群）).

x \in X

の固定部分群（stabilizer）を

Stab (x) = G_{x} = {g \in G ∣ g \cdot x = x}

と定義する．

定理 10.

Stab (x)

は

G

の部分群である．

証明.

e \cdot x = x

より

e \in Stab (x)

．

g, h \in Stab (x)

ならば

(g h^{- 1}) \cdot x = g \cdot (h^{- 1} \cdot x) = g \cdot x = x

（

h \cdot (h^{- 1} \cdot x) = (h h^{- 1}) \cdot x = x

より

h^{- 1} \cdot x = x

）．よって

g h^{- 1} \in Stab (x)

． □

定理 11 (軌道は分割をなす).

X

上の関係

x \sim y ⟺ y \in Orb (x)

は同値関係であり，軌道全体は

X

の分割をなす：

X = i ⨆ Orb (x_{i}) （各軌道から代表元を 1 つ選ぶ）

証明.

反射律：

x = e \cdot x \in Orb (x)

．対称律：

y = g \cdot x

ならば

x = g^{- 1} \cdot y

なので

x \in Orb (y)

．推移律：

y = g \cdot x

，

z = h \cdot y

ならば

z = (h g) \cdot x

． □

4 軌道安定化群定理

定理 12 (軌道安定化群定理).

G

が

X

に作用し，

x \in X

とする．このとき

∣ Orb (x) ∣ = [G : Stab (x)]

特に

G

が有限群ならば

∣ Orb (x) ∣ = ∣ G ∣/∣ Stab (x) ∣

．

証明.

全単射

f : G / Stab (x) \to Orb (x)

，

f (g Stab (x)) = g \cdot x

を構成する．

well-defined：

g Stab (x) = h Stab (x)

ならば

h^{- 1} g \in Stab (x)

，すなわち

(h^{- 1} g) \cdot x = x

，よって

g \cdot x = h \cdot x

．

単射：

g \cdot x = h \cdot x

ならば

(h^{- 1} g) \cdot x = x

，

h^{- 1} g \in Stab (x)

，

g Stab (x) = h Stab (x)

．

全射：

g \cdot x \in Orb (x)

に対して

f (g Stab (x)) = g \cdot x

． □

例 13.

S_{3}

が

{1, 2, 3}

に自然に作用する．

x = 1

の軌道は

{1, 2, 3}

（全体），

Stab (1) = {e, (23)}

．

∣ Orb (1) ∣ = 3 = 6/2 = ∣ S_{3} ∣/∣ Stab (1) ∣

．

5 不動点の数え上げ

定義 14 (不動点集合).

g \in G

に対して

Fix (g) = X^{g} = {x \in X ∣ g \cdot x = x}

を

g

の不動点集合という．

定理 15 (バーンサイドの補題).

G

を有限群，

X

を有限

G

-集合とする．軌道の数

∣ X / G ∣

は

∣ X / G ∣ = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum ∣ Fix (g) ∣

で与えられる．

証明.

集合

S = {(g, x) \in G \times X ∣ g \cdot x = x}

の元の数を2通りに数える．

g

を固定して数えると

\sum_{g \in G} ∣ Fix (g) ∣

．

x

を固定して数えると

\sum_{x \in X} ∣ Stab (x) ∣

．

軌道安定化群定理より

∣ Stab (x) ∣ = ∣ G ∣/∣ Orb (x) ∣

なので

x \in X \sum ∣ Stab (x) ∣ = x \in X \sum \frac{∣ G ∣}{∣ Orb ( x ) ∣} = ∣ G ∣ x \in X \sum \frac{1}{∣ Orb ( x ) ∣}

同じ軌道に属する元は同じ値

1/∣ Orb (x) ∣

を持つので，各軌道からの寄与は

∣ Orb (x) ∣ \cdot 1/∣ Orb (x) ∣ = 1

．よって右辺

= ∣ G ∣ \cdot ∣ X / G ∣

． □

6 共役類と類等式

共役作用 $g \cdot x = gx g^{- 1}$ に軌道安定化群定理を適用すると，群の構造に関する強力な結果が得られる．

定義 16 (共役類・中心化群).

G

の共役作用における軌道を共役類（conjugacy class）という：

C (a) = {g a g^{- 1} ∣ g \in G}

固定部分群は中心化群（centralizer）と呼ばれる：

C_{G} (a) = {g \in G ∣ g a g^{- 1} = a} = {g \in G ∣ g a = a g}

定義 17 (中心).

G

の中心（center）を

Z (G) = {z \in G ∣ z g = g z （すべての g \in G ）} = a \in G ⋂ C_{G} (a)

と定義する．

Z (G) ⊴ G

である．

注意 18.

a \in Z (G) ⟺ C (a) = {a}

（共役類が1点集合）．

定理 19 (類等式).

G

を有限群とする．共役類への分解を考えると

∣ G ∣ = ∣ Z (G) ∣ + i \sum [G : C_{G} (a_{i})]

ここで和は

∣ C (a_{i}) ∣ > 1

（すなわち

a_{i} \in / Z (G)

）なる代表元を一つずつ取る．各

[G : C_{G} (a_{i})] \geq 2

であり，

[G : C_{G} (a_{i})]

は

∣ G ∣

を割り切る．

証明.

G

は共役類の非交和に分解される．共役類の大きさは

∣ C (a) ∣ = [G : C_{G} (a)]

（軌道安定化群定理）．大きさ

1

の共役類全体が

Z (G)

であり，大きさ

\geq 2

の共役類を集めれば

∣ G ∣ = ∣ Z (G) ∣ + i \sum ∣ C (a_{i}) ∣ = ∣ Z (G) ∣ + i \sum [G : C_{G} (a_{i})]

□

7 $p$ 群の性質

定義 20 (

p

群).

素数

p

に対して，

∣ G ∣ = p^{n}

（

n \geq 1

）なる有限群

G

を

p

群（

p

-group）という．

定理 21 (

p

群の中心は非自明).

G

を

p

群（

∣ G ∣ = p^{n}

，

n \geq 1

）とする．このとき

Z (G) \neq = {e}

．

証明.

類等式

∣ G ∣ = ∣ Z (G) ∣ + \sum_{i} [G : C_{G} (a_{i})]

において，各

[G : C_{G} (a_{i})]

はラグランジュの定理より

∣ G ∣ = p^{n}

の約数であり，

[G : C_{G} (a_{i})] \geq 2

なので

p ∣ [G : C_{G} (a_{i})]

．

p ∣ ∣ G ∣

なので

∣ Z (G) ∣ = ∣ G ∣ - i \sum [G : C_{G} (a_{i})] \equiv 0 (mod p)

e \in Z (G)

なので

∣ Z (G) ∣ \geq 1

，よって

∣ Z (G) ∣ \geq p

，特に

Z (G) \neq = {e}

． □

定理 22 (位数

p^{2}

の群はアーベル).

∣ G ∣ = p^{2}

ならば

G

はアーベル群である．

証明.

Z (G) \neq = {e}

より

∣ Z (G) ∣ = p

または

p^{2}

．

∣ Z (G) ∣ = p^{2}

なら

Z (G) = G

でアーベル群．

∣ Z (G) ∣ = p

と仮定すると

∣ G / Z (G) ∣ = p

なので

G / Z (G)

は巡回群．

G / Z (G) = ⟨ g Z (G)⟩

とすると，任意の

a, b \in G

は

a = g^{i} z_{1}

，

b = g^{j} z_{2}

（

z_{1}, z_{2} \in Z (G)

）と書ける．

ab = g^{i} z_{1} g^{j} z_{2} = g^{i + j} z_{1} z_{2} = g^{j} z_{2} g^{i} z_{1} = ba

（

z_{1}, z_{2}

は中心の元なので可換）．これは

G

がアーベルであることを意味し，

Z (G) = G

となって

∣ Z (G) ∣ = p

に矛盾． □

定理 23 (不動点定理).

G

を

p

群，

X

を有限

G

-集合とする．

X^{G} = {x \in X ∣ g \cdot x = x （すべての g \in G ）}

を不動点の集合とすると

∣ X^{G} ∣ \equiv ∣ X ∣ (mod p)

証明.

軌道分解

X = X^{G} ⊔ ⨆_{i} Orb (x_{i})

（

∣ Orb (x_{i}) ∣ \geq 2

）において，各

∣ Orb (x_{i}) ∣ = [G : Stab (x_{i})]

は

∣ G ∣ = p^{n}

の約数で

\geq 2

なので

p

で割り切れる．よって

∣ X ∣ = ∣ X^{G} ∣ + \sum_{i} ∣ Orb (x_{i}) ∣ \equiv ∣ X^{G} ∣ (mod p)

． □

8 ケイリーの定理

定理 24 (ケイリーの定理).

任意の群

G

は，ある対称群の部分群に同型である．

G

が有限群で

∣ G ∣ = n

ならば

G

は

S_{n}

の部分群に同型である．

証明.

G

が

G

自身に左乗法

g \cdot x = gx

で作用する．各

g \in G

に対して

σ_{g} : G \to G

，

σ_{g} (x) = gx

は全単射（逆写像は

σ_{g^{- 1}}

）．写像

φ : G \to S_{G}

，

φ (g) = σ_{g}

は準同型：

φ (g h) (x) = σ_{g h} (x) = (g h) x = g (h x) = σ_{g} (σ_{h} (x)) = (φ (g) \circ φ (h)) (x)

．

ker φ = {g ∣ gx = x （すべての x ）} = {e}

より単射．第一同型定理から

G ≅ Im φ \leq S_{G}

． □

9 まとめと次のステップ

本記事で扱った内容：

群作用の定義と基本的な例
軌道・固定部分群と軌道安定化群定理
バーンサイドの補題
共役類・中心化群・中心と類等式
$p$ 群の中心は非自明， $∣ G ∣ = p^{2}$ ならアーベル
不動点定理
ケイリーの定理

類等式と $p$ 群の不動点定理を手に入れたことで，次の記事では有限群論の頂点の一つ ― シローの定理（存在・共役・個数の3定理）― を証明する．

群作用と類等式 ― 群が集合を「動かす」理論

1 群作用の定義

2 基本的な例

3 軌道と固定部分群

4 軌道安定化群定理

5 不動点の数え上げ

6 共役類と類等式

7 $p$ 群の性質

8 ケイリーの定理

9 まとめと次のステップ

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