1 導入
ラグランジュの定理は「∣H∣は∣G∣を割り切る」ことを教えてくれるが,その逆 ―「d∣∣G∣ならば位数dの部分群が存在するか」― には答えない.シローの定理はこの逆方向の問いに,素数冪pkの場合に肯定的な答えを与える.
G を有限群,p を素数とし,∣G∣=pnm(p∤m)と書く.G の位数 pn の部分群を G のシローp-部分群(Sylow p-subgroup)という.G のシロー p-部分群全体の集合を Sylp(G) と書き,その個数を np=∣Sylp(G)∣ と書く.
2 Cauchyの定理
シローの定理に入る前に,その特殊ケースである Cauchy の定理を証明する.これはラグランジュの定理の(部分的な)逆を与える最初の結果である.
G を有限群,p を素数とする.p∣∣G∣ ならば,G は位数 p の元を持つ.
∣G∣ に関する帰納法で証明する.∣G∣=1 のとき主張は空に成り立つ.∣G∣≥2 とし,∣G∣ 未満の位数の群に対して定理が成り立つと仮定する.場合 1:G の真の部分群 H<G で p∣∣H∣ なるものが存在する場合.∣H∣<∣G∣ なので帰納法の仮定より H は位数 p の元を持ち,それは G の元でもある.場合 2:G のどの真の部分群 H<G も p∤∣H∣ を満たす場合.類等式 ∣G∣=∣Z(G)∣+i∑[G:CG(ai)]
を考える.ai∈/Z(G) に対して CG(ai)<G は真の部分群であり,[G:CG(ai)]=∣G∣/∣CG(ai)∣.p∣∣G∣ かつ p∤∣CG(ai)∣(場合 2 の仮定)より p∣[G:CG(ai)].類等式より ∣Z(G)∣=∣G∣−i∑[G:CG(ai)]≡0(modp)
なので p∣∣Z(G)∣.Z(G) はアーベル群であるから,Z(G) の構造を見ればよい.Z(G) はアーベル群で p∣∣Z(G)∣ なので,有限アーベル群の構造より Z(G) は位数 p の元を含む(Z(G) の位数の素因数分解に p が現れるので,Z/pZ を因子に持つ).その元は G の位数 p の元である.より初等的には:z∈Z(G),z=e を取る.ord(z)=m とおく.p∣m なら zm/p は位数 p の元.p∤m なら ⟨z⟩ は位数 m の真の部分群で p∤m だが,Z(G)/⟨z⟩ は位数 ∣Z(G)∣/m のアーベル群であり,p∣∣Z(G)∣/m(p∣∣Z(G)∣ かつ p∤m).∣Z(G)/⟨z⟩∣<∣Z(G)∣≤∣G∣ に帰納法を適用して位数 p の元 wˉ∈Z(G)/⟨z⟩ を得る.その持ち上げ w∈Z(G) は wp∈⟨z⟩ を満たし,ord(w) は p の倍数なので word(w)/p が位数 p の元を与える. □
3 シローの第一定理(存在)
G を有限群,p を素数とし,∣G∣=pnm(p∤m,n≥1)とする.このとき G はシロー p-部分群を持つ.
G が G の部分集合の集合 X={S⊆G∣∣S∣=pn} に左乗法 g⋅S={gs∣s∈S}=gS で作用する.∣X∣=(pn∣G∣)=(pnpnm) である.(pnpnm) が p で割り切れないことを示す.(pnpnm)=∏i=0pn−1pn−ipnm−i であり,0≤i<pn のとき pnm−i と pn−i の p の冪の指数が等しいことから p∤(pnpnm) が従う.軌道分解 X=⨆jOrb(Sj) において,∣X∣ が p で割り切れないので,p∤∣Orb(S0)∣ なる軌道が存在する.∣Orb(S0)∣=[G:Stab(S0)] であり,∣G∣=pnm なのでラグランジュの定理より ∣Stab(S0)∣=∣G∣/∣Orb(S0)∣.p∤∣Orb(S0)∣ より pn∣∣Stab(S0)∣.一方,H=Stab(S0) は S0 を保つ(hS0=S0,∀h∈H).s0∈S0 を固定すると Hs0⊆S0 なので ∣H∣=∣Hs0∣≤∣S0∣=pn.pn∣∣H∣ かつ ∣H∣≤pn より ∣H∣=pn.H=Stab(S0) がシロー p-部分群である. □
4 シローの第二定理(共役)
G を有限群,p を素数とする.G のシロー p-部分群はすべて互いに共役である.すなわち P,Q∈Sylp(G) ならばある g∈G が存在して Q=gPg−1.
P∈Sylp(G) を固定し,Q∈Sylp(G) を任意とする.Q が左剰余類の集合 G/P に q⋅(gP)=(qg)P で作用する.∣G/P∣=[G:P]=m(p∤m)であり,Q は p群なので不動点定理より ∣(G/P)Q∣≡∣G/P∣≡m≡0(modp).特に (G/P)Q=∅.不動点 gP∈(G/P)Q が存在する.すなわちすべての q∈Q に対して qgP=gP,つまり g−1qg∈P.よって g−1Qg≤P.∣g−1Qg∣=∣Q∣=pn=∣P∣ なので g−1Qg=P,すなわち Q=gPg−1. □
P∈Sylp(G) が G で唯一のシロー p-部分群であるとき,P⊴G.
任意の g∈G に対して gPg−1 もシロー p-部分群(位数が pn で等しい).唯一性より gPg−1=P. □
5 シローの第三定理(個数)
G を有限群,∣G∣=pnm(p∤m)とする.シロー p-部分群の個数 np は
np∣m
np≡1(modp)
を満たす.
P∈Sylp(G) を一つ固定する.G が Sylp(G) に共役作用 g⋅Q=gQg−1 で作用する.第二定理より軌道は1つ(すべてのシロー部分群が共役)なので np=∣Sylp(G)∣=[G:NG(P)].ここで NG(P)={g∈G∣gPg−1=P} は P の正規化群(normalizer).P≤NG(P)≤G よりラグランジュの定理から np=[G:NG(P)] は [G:P]=m を割り切る.np≡1(modp) を示す.P が Sylp(G) に共役作用で作用する.不動点は {Q∈Sylp(G)∣pQp−1=Q(すべての p∈P)}.Q が不動点ならば P≤NG(Q).このとき P と Q はともに NG(Q) のシロー p-部分群なので,NG(Q) 内で共役,すなわち Q=gPg−1(ある g∈NG(Q)).しかし Q⊴NG(Q) なので gQg−1=Q=gPg−1,よって P=Q.不動点は P 自身のみなので,不動点定理より np=∣Sylp(G)∣≡1(modp). □
6 応用:群の構造決定
シローの定理の威力は,npに対する制約から群の構造を決定できる点にある.
∣G∣=15=3⋅5 とする.
唯一のシロー 3-部分群 P3 と 5-部分群 P5 はともに正規.P3∩P5={e}(位数の互いに素性)かつ ∣P3P5∣=∣P3∣∣P5∣/∣P3∩P5∣=15=∣G∣ より G=P3×P5≅Z/3Z×Z/5Z≅Z/15Z.位数 15 の群は巡回群に限る.
∣G∣=12=22⋅3 とする.
n3∣4,n3≡1(mod3) より n3∈{1,4}.
n2∣3,n2≡1(mod2) より n2∈{1,3}.
n3=1 なら正規なシロー 3-部分群が存在する.n3=4 の場合もあり得る(例:A4).位数 12 の群は同型を除いて 5 種類:Z/12Z,Z/2Z×Z/6Z,A4,D6,Dic12(二項体群).
∣G∣=pq とする.nq∣p,nq≡1(modq).p<q なので nq=1(p≡1(modq) のとき.p≡1(modq) は p<q に矛盾).よってシロー q-部分群 Q は正規.np∣q,np≡1(modp) より np∈{1,q}.q≡1(modp) なら np=q もあり得る(非可換群が存在).q≡1(modp) なら np=1 で G≅Z/pqZ.
7 シロー部分群の性質
G を有限群,P∈Sylp(G) とする.H≤G が p群ならば,ある g∈G が存在して H≤gPg−1.特に,G の最大の p部分群はシロー p-部分群に限る.
H が G/P に左乗法で作用する.∣G/P∣=m(p∤m)なので不動点定理より ∣(G/P)H∣≡m≡0(modp),不動点 gP が存在する.HgP=gP,すなわち g−1Hg≤P,よって H≤gPg−1. □
N⊴G,P∈Sylp(N) とする.このとき G=N⋅NG(P).
g∈G を任意に取る.gPg−1≤gNg−1=N(N⊴G)なので gPg−1 は N のシロー p-部分群.シローの第二定理より gPg−1=nPn−1(ある n∈N).よって n−1g∈NG(P),g=n(n−1g)∈N⋅NG(P). □
8 まとめ
本記事で扱った内容:
シローの定理は,有限群の構造を具体的に分析するための最も強力な道具である.これにより,「位数から群の構造がどこまで決まるか」という問いに系統的に答えることができる.