シローの定理 ― 有限群論の頂点

Cauchyの定理（素数位数の元の存在）を証明した後，シローの3つの定理（シロー部分群の存在・共役・個数）を証明し，具体例で応用法を示します．位数12, 15, 30の群の分類など，シローの定理を用いた群の構造決定の実際を解説します．

2026年2月27日

1 導入

ラグランジュの定理は「 $∣ H ∣$ は $∣ G ∣$ を割り切る」ことを教えてくれるが，その逆 ―「 $d ∣ ∣ G ∣$ ならば位数 $d$ の部分群が存在するか」― には答えない．シローの定理はこの逆方向の問いに，素数冪 $p^{k}$ の場合に肯定的な答えを与える．

定義 1 (シロー

p

-部分群).

G

を有限群，

p

を素数とし，

∣ G ∣ = p^{n} m

（

p ∤ m

）と書く．

G

の位数

p^{n}

の部分群を

G

のシロー $p$ -部分群（Sylow

p

-subgroup）という．

G

のシロー

p

-部分群全体の集合を

Syl_{p} (G)

と書き，その個数を

n_{p} = ∣ Syl_{p} (G) ∣

と書く．

2 Cauchyの定理

シローの定理に入る前に，その特殊ケースである Cauchy の定理を証明する．これはラグランジュの定理の（部分的な）逆を与える最初の結果である．

定理 2 (Cauchyの定理).

G

を有限群，

p

を素数とする．

p ∣ ∣ G ∣

ならば，

G

は位数

p

の元を持つ．

証明.

∣ G ∣

に関する帰納法で証明する．

∣ G ∣ = 1

のとき主張は空に成り立つ．

∣ G ∣ \geq 2

とし，

∣ G ∣

未満の位数の群に対して定理が成り立つと仮定する．

場合 1：

G

の真の部分群

H < G

で

p ∣ ∣ H ∣

なるものが存在する場合．

∣ H ∣ < ∣ G ∣

なので帰納法の仮定より

H

は位数

p

の元を持ち，それは

G

の元でもある．

場合 2：

G

のどの真の部分群

H < G

も

p ∤ ∣ H ∣

を満たす場合．類等式

∣ G ∣ = ∣ Z (G) ∣ + i \sum [G : C_{G} (a_{i})]

を考える．

a_{i} \in / Z (G)

に対して

C_{G} (a_{i}) < G

は真の部分群であり，

[G : C_{G} (a_{i})] = ∣ G ∣/∣ C_{G} (a_{i}) ∣

．

p ∣ ∣ G ∣

かつ

p ∤ ∣ C_{G} (a_{i}) ∣

（場合 2 の仮定）より

p ∣ [G : C_{G} (a_{i})]

．類等式より

∣ Z (G) ∣ = ∣ G ∣ - i \sum [G : C_{G} (a_{i})] \equiv 0 (mod p)

なので

p ∣ ∣ Z (G) ∣

．

Z (G)

はアーベル群であるから，

Z (G)

の構造を見ればよい．

Z (G)

はアーベル群で

p ∣ ∣ Z (G) ∣

なので，有限アーベル群の構造より

Z (G)

は位数

p

の元を含む（

Z (G)

の位数の素因数分解に

p

が現れるので，

Z / p Z

を因子に持つ）．その元は

G

の位数

p

の元である．

より初等的には：

z \in Z (G)

，

z \neq = e

を取る．

ord (z) = m

とおく．

p ∣ m

なら

z^{m / p}

は位数

p

の元．

p ∤ m

なら

⟨ z ⟩

は位数

m

の真の部分群で

p ∤ m

だが，

Z (G) / ⟨ z ⟩

は位数

∣ Z (G) ∣/ m

のアーベル群であり，

p ∣ ∣ Z (G) ∣/ m

（

p ∣ ∣ Z (G) ∣

かつ

p ∤ m

）．

∣ Z (G) / ⟨ z ⟩ ∣ < ∣ Z (G) ∣ \leq ∣ G ∣

に帰納法を適用して位数

p

の元

\overset{w}{ˉ} \in Z (G) / ⟨ z ⟩

を得る．その持ち上げ

w \in Z (G)

は

w^{p} \in ⟨ z ⟩

を満たし，

ord (w)

は

p

の倍数なので

w^{ord (w) / p}

が位数

p

の元を与える． □

注意 3.

Cauchy の定理はシローの第一定理の特殊ケース（

p^{1} ∣ ∣ G ∣

の場合）である．上の帰納法による証明の他に，McKay による集合

{(a_{1}, \dots, a_{p}) \in G^{p} ∣ a_{1} a_{2} \dots a_{p} = e}

に

Z / p Z

を巡回的置換で作用させる組合せ論的証明も知られている．

3 シローの第一定理（存在）

定理 4 (シローの第一定理).

G

を有限群，

p

を素数とし，

∣ G ∣ = p^{n} m

（

p ∤ m

，

n \geq 1

）とする．このとき

G

はシロー

p

-部分群を持つ．

証明.

G

が

G

の部分集合の集合

X = {S \subseteq G ∣ ∣ S ∣ = p^{n}}

に左乗法

g \cdot S = {g s ∣ s \in S} = g S

で作用する．

∣ X ∣ = (p ^{n} ∣ G ∣) = (p ^{n} p ^{n} m)

である．

(p ^{n} p ^{n} m)

が

p

で割り切れないことを示す．

(p ^{n} p ^{n} m) = \prod_{i = 0}^{p^{n} - 1} \frac{p ^{n} m - i}{p ^{n} - i}

であり，

0 \leq i < p^{n}

のとき

p^{n} m - i

と

p^{n} - i

の

p

の冪の指数が等しいことから

p ∤ (p ^{n} p ^{n} m)

が従う．

軌道分解

X = ⨆_{j} Orb (S_{j})

において，

∣ X ∣

が

p

で割り切れないので，

p ∤ ∣ Orb (S_{0}) ∣

なる軌道が存在する．

∣ Orb (S_{0}) ∣ = [G : Stab (S_{0})]

であり，

∣ G ∣ = p^{n} m

なのでラグランジュの定理より

∣ Stab (S_{0}) ∣ = ∣ G ∣/∣ Orb (S_{0}) ∣

．

p ∤ ∣ Orb (S_{0}) ∣

より

p^{n} ∣ ∣ Stab (S_{0}) ∣

．

一方，

H = Stab (S_{0})

は

S_{0}

を保つ（

h S_{0} = S_{0}

，

\forall h \in H

）．

s_{0} \in S_{0}

を固定すると

H s_{0} \subseteq S_{0}

なので

∣ H ∣ = ∣ H s_{0} ∣ \leq ∣ S_{0} ∣ = p^{n}

．

p^{n} ∣ ∣ H ∣

かつ

∣ H ∣ \leq p^{n}

より

∣ H ∣ = p^{n}

．

H = Stab (S_{0})

がシロー

p

-部分群である． □

4 シローの第二定理（共役）

定理 5 (シローの第二定理).

G

を有限群，

p

を素数とする．

G

のシロー

p

-部分群はすべて互いに共役である．すなわち

P, Q \in Syl_{p} (G)

ならばある

g \in G

が存在して

Q = g P g^{- 1}

．

証明.

P \in Syl_{p} (G)

を固定し，

Q \in Syl_{p} (G)

を任意とする．

Q

が左剰余類の集合

G / P

に

q \cdot (g P) = (q g) P

で作用する．

∣ G / P ∣ = [G : P] = m

（

p ∤ m

）であり，

Q

は

p

群なので不動点定理より

∣ (G / P)^{Q} ∣ \equiv ∣ G / P ∣ \equiv m \neq \equiv 0 (mod p)

．特に

(G / P)^{Q} \neq = \emptyset

．

不動点

g P \in (G / P)^{Q}

が存在する．すなわちすべての

q \in Q

に対して

q g P = g P

，つまり

g^{- 1} q g \in P

．よって

g^{- 1} Q g \leq P

．

∣ g^{- 1} Q g ∣ = ∣ Q ∣ = p^{n} = ∣ P ∣

なので

g^{- 1} Q g = P

，すなわち

Q = g P g^{- 1}

． □

定理 6 (系).

P \in Syl_{p} (G)

が

G

で唯一のシロー

p

-部分群であるとき，

P ⊴ G

．

証明.

任意の

g \in G

に対して

g P g^{- 1}

もシロー

p

-部分群（位数が

p^{n}

で等しい）．唯一性より

g P g^{- 1} = P

． □

5 シローの第三定理（個数）

定理 7 (シローの第三定理).

G

を有限群，

∣ G ∣ = p^{n} m

（

p ∤ m

）とする．シロー

p

-部分群の個数

n_{p}

は

$n_{p} ∣ m$
$n_{p} \equiv 1 (mod p)$

を満たす．

証明.

P \in Syl_{p} (G)

を一つ固定する．

G

が

Syl_{p} (G)

に共役作用

g \cdot Q = g Q g^{- 1}

で作用する．第二定理より軌道は1つ（すべてのシロー部分群が共役）なので

n_{p} = ∣ Syl_{p} (G) ∣ = [G : N_{G} (P)]

．ここで

N_{G} (P) = {g \in G ∣ g P g^{- 1} = P}

は

P

の正規化群（normalizer）．

P \leq N_{G} (P) \leq G

よりラグランジュの定理から

n_{p} = [G : N_{G} (P)]

は

[G : P] = m

を割り切る．

n_{p} \equiv 1 (mod p)

を示す．

P

が

Syl_{p} (G)

に共役作用で作用する．不動点は

{Q \in Syl_{p} (G) ∣ pQ p^{- 1} = Q （すべての p \in P ）}

．

Q

が不動点ならば

P \leq N_{G} (Q)

．このとき

P

と

Q

はともに

N_{G} (Q)

のシロー

p

-部分群なので，

N_{G} (Q)

内で共役，すなわち

Q = g P g^{- 1}

（ある

g \in N_{G} (Q)

）．しかし

Q ⊴ N_{G} (Q)

なので

g Q g^{- 1} = Q = g P g^{- 1}

，よって

P = Q

．

不動点は

P

自身のみなので，不動点定理より

n_{p} = ∣ Syl_{p} (G) ∣ \equiv 1 (mod p)

． □

6 応用：群の構造決定

シローの定理の威力は， $n_{p}$ に対する制約から群の構造を決定できる点にある．

例 8 (位数

15

の群).

∣ G ∣ = 15 = 3 \cdot 5

とする．

$n_{3} ∣ 5$ ， $n_{3} \equiv 1 (mod 3)$ より $n_{3} \in {1, 5}$ ． $5 \equiv 2 (mod 3)$ なので $n_{3} = 1$ ．
$n_{5} ∣ 3$ ， $n_{5} \equiv 1 (mod 5)$ より $n_{5} = 1$ ．

唯一のシロー

3

-部分群

P_{3}

と

5

-部分群

P_{5}

はともに正規．

P_{3} \cap P_{5} = {e}

（位数の互いに素性）かつ

∣ P_{3} P_{5} ∣ = ∣ P_{3} ∣∣ P_{5} ∣/∣ P_{3} \cap P_{5} ∣ = 15 = ∣ G ∣

より

G = P_{3} \times P_{5} ≅ Z /3 Z \times Z /5 Z ≅ Z /15 Z

．位数

15

の群は巡回群に限る．

例 9 (位数

12

の群).

∣ G ∣ = 12 = 2^{2} \cdot 3

とする．

$n_{3} ∣ 4$ ， $n_{3} \equiv 1 (mod 3)$ より $n_{3} \in {1, 4}$ ．
$n_{2} ∣ 3$ ， $n_{2} \equiv 1 (mod 2)$ より $n_{2} \in {1, 3}$ ．

n_{3} = 1

なら正規なシロー

3

-部分群が存在する．

n_{3} = 4

の場合もあり得る（例：

A_{4}

）．位数

12

の群は同型を除いて

5

種類：

Z /12 Z

，

Z /2 Z \times Z /6 Z

，

A_{4}

，

D_{6}

，

Dic_{12}

（二項体群）．

例 10 (位数

pq

の群（

p < q

，素数）).

∣ G ∣ = pq

とする．

n_{q} ∣ p

，

n_{q} \equiv 1 (mod q)

．

p < q

なので

n_{q} = 1

（

p \neq \equiv 1 (mod q)

のとき．

p \equiv 1 (mod q)

は

p < q

に矛盾）．よってシロー

q

-部分群

Q

は正規．

n_{p} ∣ q

，

n_{p} \equiv 1 (mod p)

より

n_{p} \in {1, q}

．

q \equiv 1 (mod p)

なら

n_{p} = q

もあり得る（非可換群が存在）．

q \neq \equiv 1 (mod p)

なら

n_{p} = 1

で

G ≅ Z / pq Z

．

7 シロー部分群の性質

定理 11.

G

を有限群，

P \in Syl_{p} (G)

とする．

H \leq G

が

p

群ならば，ある

g \in G

が存在して

H \leq g P g^{- 1}

．特に，

G

の最大の

p

部分群はシロー

p

-部分群に限る．

証明.

H

が

G / P

に左乗法で作用する．

∣ G / P ∣ = m

（

p ∤ m

）なので不動点定理より

∣ (G / P)^{H} ∣ \equiv m \neq \equiv 0 (mod p)

，不動点

g P

が存在する．

H g P = g P

，すなわち

g^{- 1} H g \leq P

，よって

H \leq g P g^{- 1}

． □

定理 12 (フラッティーニの論法).

N ⊴ G

，

P \in Syl_{p} (N)

とする．このとき

G = N \cdot N_{G} (P)

．

証明.

g \in G

を任意に取る．

g P g^{- 1} \leq g N g^{- 1} = N

（

N ⊴ G

）なので

g P g^{- 1}

は

N

のシロー

p

-部分群．シローの第二定理より

g P g^{- 1} = n P n^{- 1}

（ある

n \in N

）．よって

n^{- 1} g \in N_{G} (P)

，

g = n (n^{- 1} g) \in N \cdot N_{G} (P)

． □

8 まとめ

本記事で扱った内容：

Cauchyの定理： $p ∣ ∣ G ∣$ ならば位数 $p$ の元が存在する
シローの第一定理：シロー $p$ -部分群の存在
シローの第二定理：シロー $p$ -部分群はすべて共役
シローの第三定理： $n_{p} ∣ m$ ， $n_{p} \equiv 1 (mod p)$
応用：位数 $15$ , $12$ , $pq$ の群の構造決定
シロー部分群の極大性とフラッティーニの論法

シローの定理は，有限群の構造を具体的に分析するための最も強力な道具である．これにより，「位数から群の構造がどこまで決まるか」という問いに系統的に答えることができる．

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シローの定理 ― 有限群論の頂点

1 導入

2 Cauchyの定理

3 シローの第一定理（存在）

4 シローの第二定理（共役）

5 シローの第三定理（個数）

6 応用：群の構造決定

7 シロー部分群の性質

8 まとめ

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