直積と半直積 ― 群の組み立て方

既知の群から新しい群を構成する基本的な方法である直積と半直積を解説します．内部直積と外部直積の同値性，半直積の定義と構成法，二面体群や対称群の半直積表示など，群を「分解して理解する」技法を体系的に学びます．

2026年2月27日

1 群の直積

定義 1 (外部直積).

群

G

と

H

に対して，集合としての直積

G \times H = {(g, h) ∣ g \in G, h \in H}

に成分ごとの演算

(g_{1}, h_{1}) (g_{2}, h_{2}) = (g_{1} g_{2}, h_{1} h_{2})

を定めたものを

G

と

H

の外部直積（external direct product）という．

命題 2.

G \times H

は群である．単位元は

(e_{G}, e_{H})

，

(g, h)

の逆元は

(g^{- 1}, h^{- 1})

．

証明.

結合法則：

(g_{1}, h_{1}) ((g_{2}, h_{2}) (g_{3}, h_{3})) = (g_{1}, h_{1}) (g_{2} g_{3}, h_{2} h_{3}) = (g_{1} g_{2} g_{3}, h_{1} h_{2} h_{3}) = ((g_{1}, h_{1}) (g_{2}, h_{2})) (g_{3}, h_{3})

．単位元・逆元も成分ごとの演算から直ちに確認できる． □

命題 3.

G \times H

において，

\overset{ˉ}{G} = {(g, e_{H}) ∣ g \in G}

と

\overset{ˉ}{H} = {(e_{G}, h) ∣ h \in H}

は次を満たす：

$\overset{ˉ}{G} ⊴ G \times H$ かつ $\overset{ˉ}{H} ⊴ G \times H$ ．
$\overset{ˉ}{G} \cap \overset{ˉ}{H} = {(e_{G}, e_{H})}$ ．
$\overset{ˉ}{G} \overset{ˉ}{H} = G \times H$ ．
$\overset{ˉ}{G} ≅ G$ ， $\overset{ˉ}{H} ≅ H$ ．

証明.

(1)

(g^{'}, h^{'}) (g, e_{H}) (g^{'}, h^{'})^{- 1} = (g^{'} g g^{' - 1}, e_{H}) \in \overset{ˉ}{G}

より

\overset{ˉ}{G} ⊴ G \times H

．

\overset{ˉ}{H}

も同様．(2), (3), (4) は定義から明らか． □

2 内部直積

定義 4 (内部直積).

群

G

の正規部分群

N, K

が次の3条件を満たすとき，

G

は

N

と

K

の内部直積（internal direct product）であるといい，

G = N \times K

と書く：

$N ⊴ G$ かつ $K ⊴ G$ ．
$N \cap K = {e}$ ．
$N K = G$ ．

定理 5 (直積の判定).

G

の正規部分群

N, K

が

N \cap K = {e}

かつ

N K = G

を満たすならば，写像

φ : N \times K \to G

，

(n, k) \mapsto nk

は群の同型を与える．

証明.

φ

が準同型であることを示す．

n \in N

，

k \in K

に対して

nk n^{- 1} k^{- 1} = (nk n^{- 1}) k^{- 1} \in K

（

K ⊴ G

）かつ

nk n^{- 1} k^{- 1} = n (k n^{- 1} k^{- 1}) \in N

（

N ⊴ G

）．よって

nk n^{- 1} k^{- 1} \in N \cap K = {e}

，すなわち

nk = kn

．

したがって

φ ((n_{1}, k_{1}) (n_{2}, k_{2})) = φ (n_{1} n_{2}, k_{1} k_{2}) = n_{1} n_{2} k_{1} k_{2} = n_{1} k_{1} n_{2} k_{2} = φ (n_{1}, k_{1}) φ (n_{2}, k_{2})

．

N K = G

より全射．

nk = e

なら

n = k^{- 1} \in N \cap K = {e}

より

n = k = e

，よって単射． □

系 6.

G

が内部直積

G = N \times K

ならば，

N

と

K

の任意の元は可換である：

nk = kn

（

n \in N

，

k \in K

）．

3 直積の一般化

定義 7.

群

G

の正規部分群

N_{1}, \dots, N_{r}

が次の条件を満たすとき，

G

を

N_{1}, \dots, N_{r}

の内部直積

G = N_{1} \times \dots \times N_{r}

という：

各 $N_{i} ⊴ G$ ．
$N_{i} \cap (N_{1} \dots N_{i - 1} N_{i + 1} \dots N_{r}) = {e}$ （ $i = 1, \dots, r$ ）．
$N_{1} N_{2} \dots N_{r} = G$ ．

例 8.

Z /6 Z ≅ Z /2 Z \times Z /3 Z

．実際，

N = {0, 3} ≅ Z /2 Z

と

K = {0, 2, 4} ≅ Z /3 Z

は

Z /6 Z

の正規部分群で，

N \cap K = {0}

，

N + K = Z /6 Z

．

命題 9.

g cd (m, n) = 1

ならば

Z / mn Z ≅ Z / m Z \times Z / n Z

（中国の剰余定理の群論版）．

4 半直積の動機

直積 $G = N \times K$ では $N$ と $K$ の元は可換であった．しかし多くの群はこのように分解できない．

例 10.

二面体群

D_{n}

（正

n

角形の対称群，位数

2 n

）を考える．回転群

R = ⟨ r ⟩ ≅ Z / n Z

は正規部分群，鏡映

s

が生成する

S = {e, s} ≅ Z /2 Z

は

R \cap S = {e}

，

RS = D_{n}

を満たす．しかし

S

は一般に正規部分群ではなく，

rs \neq = sr

（実際

sr s^{- 1} = r^{- 1}

）．

この状況を一般化するのが半直積である．

5 半直積の定義

定義 11 (外部半直積).

群

N

，

H

と準同型

φ : H \to Aut (N)

が与えられたとき，集合

N \times H

に演算

(n_{1}, h_{1}) (n_{2}, h_{2}) = (n_{1} \cdot φ (h_{1}) (n_{2}), h_{1} h_{2})

を定めた群を

N

と

H

の

φ

に関する半直積（semidirect product）といい，

N ⋊_{φ} H

と書く．

定理 12.

N ⋊_{φ} H

は群である．

証明.

結合法則：

φ (h_{1})

が自己同型であることと

φ

が準同型であることを用いる：

((n_{1}, h_{1}) (n_{2}, h_{2})) (n_{3}, h_{3}) = (n_{1} φ (h_{1}) (n_{2}), h_{1} h_{2}) (n_{3}, h_{3}) = (n_{1} φ (h_{1}) (n_{2}) \cdot φ (h_{1} h_{2}) (n_{3}), h_{1} h_{2} h_{3}) = (n_{1} φ (h_{1}) (n_{2}) \cdot φ (h_{1}) (φ (h_{2}) (n_{3})), h_{1} h_{2} h_{3}) = (n_{1} φ (h_{1}) (n_{2} φ (h_{2}) (n_{3})), h_{1} h_{2} h_{3}) = (n_{1}, h_{1}) (n_{2} φ (h_{2}) (n_{3}), h_{2} h_{3}) = (n_{1}, h_{1}) ((n_{2}, h_{2}) (n_{3}, h_{3})) .

単位元：

(e_{N}, e_{H})

．

(e_{N}, e_{H}) (n, h) = (e_{N} \cdot φ (e_{H}) (n), h) = (n, h)

．

逆元：

(n, h)^{- 1} = (φ (h^{- 1}) (n^{- 1}), h^{- 1})

．検証は直接計算による． □

命題 13.

G = N ⋊_{φ} H

において：

$\overset{ˉ}{N} = {(n, e_{H}) ∣ n \in N} ⊴ G$ かつ $\overset{ˉ}{N} ≅ N$ ．
$\overset{ˉ}{H} = {(e_{N}, h) ∣ h \in H} \leq G$ かつ $\overset{ˉ}{H} ≅ H$ （一般に正規ではない）．
$\overset{ˉ}{N} \cap \overset{ˉ}{H} = {(e_{N}, e_{H})}$ かつ $\overset{ˉ}{N} \overset{ˉ}{H} = G$ ．
$(e_{N}, h) (n, e_{H}) (e_{N}, h)^{- 1} = (φ (h) (n), e_{H})$ ．すなわち $\overset{ˉ}{H}$ は $\overset{ˉ}{N}$ に $φ$ で作用する．

6 内部半直積の判定

定理 14 (半直積の判定).

群

G

が次を満たすとする：

$N ⊴ G$ ， $H \leq G$ ．
$N \cap H = {e}$ ．
$N H = G$ ．

このとき

φ : H \to Aut (N)

，

φ (h) (n) = hn h^{- 1}

として

G ≅ N ⋊_{φ} H

．

証明.

N H = G

，

N \cap H = {e}

より，任意の

g \in G

は

g = nh

（

n \in N

，

h \in H

）と一意に書ける．写像

Φ : N ⋊_{φ} H \to G

，

(n, h) \mapsto nh

を考える．

Φ ((n_{1}, h_{1}) (n_{2}, h_{2})) = Φ (n_{1} h_{1} n_{2} h_{1}^{- 1}, h_{1} h_{2}) = n_{1} h_{1} n_{2} h_{1}^{- 1} \cdot h_{1} h_{2} = n_{1} h_{1} n_{2} h_{2} = Φ (n_{1}, h_{1}) Φ (n_{2}, h_{2})

．

全射・単射は

N H = G

，

N \cap H = {e}

から従う． □

7 半直積の例

例 15 (二面体群).

D_{n} ≅ Z / n Z ⋊_{φ} Z /2 Z

，ただし

φ (1) (k) = - k

（

Z / n Z

の元の符号反転）．

例 16 (対称群

S_{3}

S_{3} ≅ A_{3} ⋊ ⟨(12)⟩ ≅ Z /3 Z ⋊ Z /2 Z ≅ D_{3}

．

例 17 (位数

pq

の非可換群).

素数

p < q

で

q \equiv 1 (mod p)

のとき，

Aut (Z / q Z) ≅ (Z / q Z)^{\times}

は位数

p

の元

α

を含む．

φ : Z / p Z \to Aut (Z / q Z)

，

φ (1) = α

として

Z / q Z ⋊_{φ} Z / p Z

は位数

pq

の非可換群を与える．

例 18 (自明な半直積).

φ

が自明準同型（

φ (h) = id_{N}

，

\forall h \in H

）のとき

N ⋊_{φ} H = N \times H

（直積に一致）．

8 まとめ

直積 $N \times K$ ： $N ⊴ G$ ， $K ⊴ G$ ， $N \cap K = {e}$ ， $N K = G$ ． $N$ と $K$ の元は可換．
半直積 $N ⋊ H$ ： $N ⊴ G$ ， $H \leq G$ （正規とは限らない）， $N \cap H = {e}$ ， $N H = G$ ． $H$ が $N$ に共役で作用．
半直積は準同型 $φ : H \to Aut (N)$ の選び方に依存する．異なる $φ$ は一般に非同型な半直積を与える．

直積と半直積は，群を既知の部品から組み立てる（または既知の部品に分解する）基本的な手法である．群の構造を理解する上で不可欠な道具となる．

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直積と半直積 ― 群の組み立て方

1 群の直積

2 内部直積

3 直積の一般化

4 半直積の動機

5 半直積の定義

6 内部半直積の判定

7 半直積の例

8 まとめ

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