有限アーベル群の構造定理 ― 完全な分類

有限アーベル群が巡回群の直積に分解されることを証明します．素因子分解による一次分解，不変因子と単因子（初等因子）による二つの標準形，具体的な分類の手順を体系的に解説します．

2026年2月27日

1 目標

有限アーベル群の構造を完全に決定する．すなわち，任意の有限アーベル群は巡回群の直積と同型であることを示し，その分解が本質的に一意であることを証明する．

2 巡回群の基本性質

命題 1.

g cd (m, n) = 1

ならば

Z / mn Z ≅ Z / m Z \times Z / n Z

．

証明.

φ : Z / mn Z \to Z / m Z \times Z / n Z

，

φ (a) = (a mod m, a mod n)

は準同型．

φ (a) = (0, 0)

なら

m ∣ a

かつ

n ∣ a

，

g cd (m, n) = 1

より

mn ∣ a

，よって

a = 0

Z / mn Z

．単射かつ

∣ Z / mn Z ∣ = ∣ Z / m Z \times Z / n Z ∣

より同型． □

系 2.

n = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \dots p_{r}^{a_{r}}

（素因数分解）ならば

Z / n Z ≅ Z / p_{1}^{a_{1}} Z \times Z / p_{2}^{a_{2}} Z \times \dots \times Z / p_{r}^{a_{r}} Z .

3 $p$ 群の分解

補題 3.

有限アーベル

p

群

G

（

∣ G ∣ = p^{n}

）において，最大位数の元

g

を取る．

⟨ g ⟩

は

G

の直和因子である．すなわち

G = ⟨ g ⟩ \times H

なる部分群

H

が存在する．

この補題の証明は $∣ G ∣$ に関する帰納法による．核心は次の主張にある：

証明.

∣ g ∣ = p^{k}

とする．

∣ G ∣ = p^{n}

に関する帰納法．

k = n

なら

G = ⟨ g ⟩

で自明．

k < n

とする．

G / ⟨ g ⟩

に帰納法を適用し，

G

から

⟨ g ⟩

を「分離」する．具体的には，

π : G \to G / ⟨ g ⟩

を自然な射影とする．帰納法の仮定より

G / ⟨ g ⟩

は巡回群の直積に分解される．

G / ⟨ g ⟩

の巡回直和因子

⟨ \overset{ˉ}{h} ⟩

（

\overset{ˉ}{h} = π (h)

）に対して，

h

の位数が

∣ \overset{ˉ}{h} ∣

と等しくなるよう

h

を適切に選び直すことができる（

g

が最大位数を持つことを用いる）．この操作を繰り返し

G = ⟨ g ⟩ \times H

を得る． □

定理 4 (有限アーベル

p

群の分解).

有限アーベル

p

群

G

は巡回

p

群の直積に同型である：

G ≅ Z / p^{a_{1}} Z \times Z / p^{a_{2}} Z \times \dots \times Z / p^{a_{r}} Z, a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{r} \geq 1.

証明.

∣ G ∣

に関する帰納法．前補題より

G = ⟨ g ⟩ \times H

（

∣ g ∣ = p^{a_{1}}

，

∣ H ∣ < ∣ G ∣

）．

H

に帰納法を適用すれば

H ≅ Z / p^{a_{2}} Z \times \dots \times Z / p^{a_{r}} Z

．

g

が最大位数を持つので

a_{1} \geq a_{2}

． □

4 一次分解（ $p$ 成分分解）

定理 5 (一次分解).

有限アーベル群

G

，

∣ G ∣ = p_{1}^{n_{1}} p_{2}^{n_{2}} \dots p_{r}^{n_{r}}

に対して，

G

のシロー

p_{i}

-部分群を

G_{p_{i}}

とすると

G = G_{p_{1}} \times G_{p_{2}} \times \dots \times G_{p_{r}} .

証明.

G

がアーベルなので各シロー部分群

G_{p_{i}}

は正規（シロー部分群は一意）．

∣ G_{p_{i}} ∣ = p_{i}^{n_{i}}

で

g cd (p_{i}^{n_{i}}, \prod_{j \neq = i} p_{j}^{n_{j}}) = 1

より

G_{p_{i}} \cap \prod_{j \neq = i} G_{p_{j}} = {e}

．

\prod_{i} ∣ G_{p_{i}} ∣ = ∣ G ∣

より

G = G_{p_{1}} \times \dots \times G_{p_{r}}

． □

5 有限アーベル群の基本定理

前節の結果を合わせると：

定理 6 (有限アーベル群の基本定理 — 単因子形).

任意の有限アーベル群

G

は巡回群の直積に同型である：

G ≅ Z / p_{1}^{a_{1}} Z \times Z / p_{2}^{a_{2}} Z \times \dots \times Z / p_{s}^{a_{s}} Z

ここで

p_{i}

は（重複を許す）素数，

a_{i} \geq 1

．この分解は並べ替えを除いて一意である．

p_{1}^{a_{1}}, \dots, p_{s}^{a_{s}}

を

G

の単因子（elementary divisors）という．

証明.

一次分解定理（前節）より

G = G_{p_{1}} \times G_{p_{2}} \times \dots \times G_{p_{r}}

（各

G_{p_{i}}

はシロー

p_{i}

-部分群）と分解される．各

G_{p_{i}}

は有限アーベル

p_{i}

群なので，有限アーベル

p

群の分解定理より

G_{p_{i}} ≅ Z / p_{i}^{a_{i, 1}} Z \times Z / p_{i}^{a_{i, 2}} Z \times \dots \times Z / p_{i}^{a_{i, r_{i}}} Z

と巡回

p_{i}

群の直積に分解される．すべての素数

p_{i}

にわたってこれらの因子を集めれば

G ≅ Z / p_{1}^{a_{1}} Z \times Z / p_{2}^{a_{2}} Z \times \dots \times Z / p_{s}^{a_{s}} Z

が得られる．一意性は，各

p

成分

G_{p_{i}}

の分解の一意性（後述の一意性の定理）から従う． □

定理 7 (有限アーベル群の基本定理 — 不変因子形).

任意の有限アーベル群

G

は

G ≅ Z / d_{1} Z \times Z / d_{2} Z \times \dots \times Z / d_{t} Z, d_{1} ∣ d_{2} ∣ \dots ∣ d_{t}, d_{i} \geq 2

と書ける．この分解は一意である．

d_{1}, \dots, d_{t}

を

G

の不変因子（invariant factors）という．

証明.

単因子形の分解が既に得られているので，そこから不変因子形を構成する．

単因子を素数ごとに分類する．素数

p

に対応する単因子を

p^{a_{1}} \geq p^{a_{2}} \geq \dots \geq p^{a_{r_{p}}}

（

a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{r_{p}} \geq 1

）とする．

t = max_{p} r_{p}

（すべての素数にわたる最大の因子数）とおき，

j = 1, \dots, t

に対して

d_{j} = p \prod p^{a_{j} (p)}

と定める．ここで

a_{j} (p)

は素数

p

の

j

番目の指数（

j > r_{p}

のときは

a_{j} (p) = 0

）．

a_{1} (p) \geq a_{2} (p) \geq \dots

なので

d_{1} ∣ d_{2} ∣ \dots ∣ d_{t}

が成り立つ．中国の剰余定理（

g cd (m, n) = 1

なら

Z / mn Z ≅ Z / m Z \times Z / n Z

）により

Z / d_{j} Z ≅ p \prod Z / p^{a_{j} (p)} Z

であるから，

\prod_{j} Z / d_{j} Z

は元の単因子分解と一致する．一意性は単因子形の一意性から従う． □

不変因子と単因子は相互に変換可能である．単因子を素数ごとにまとめ，各素数の冪を大きい順に並べて掛け合わせると不変因子が得られる．

6 一意性の証明

定理 8 (一意性).

有限アーベル群

G

の単因子分解は並べ替えを除いて一意的である．

証明.

p

を素数とする．

G

のアーベル群としての構造から，部分群

G [p] = {g \in G ∣ g^{p} = e}

と

G^{p} = {g^{p} ∣ g \in G}

を考える．

G ≅ Z / p^{a_{1}} Z \times \dots \times Z / p^{a_{r}} Z

（

a_{1} \geq \dots \geq a_{r} \geq 1

）のとき，

∣ G [p] ∣ = p^{r}

（

p

で割れる元の個数から

r

が定まる）．

さらに

G / G^{p} ≅ (Z / p Z)^{r}

であり，

G^{p}

のシロー

p

-部分群は

Z / p^{a_{1} - 1} Z \times \dots \times Z / p^{a_{r} - 1} Z

（

a_{i} - 1 = 0

の因子は消える）に同型．この操作を繰り返すことで各

a_{i}

が一意に定まる． □

7 分類の実践

例 9 (位数

8

のアーベル群).

∣ G ∣ = 8 = 2^{3}

．

2^{3}

の分割は

(3), (2, 1), (1, 1, 1)

．対応するアーベル群は：

$Z /8 Z$ （単因子 ${8}$ ，不変因子 ${8}$ ）
$Z /4 Z \times Z /2 Z$ （単因子 ${4, 2}$ ，不変因子 ${2, 4}$ ）
$Z /2 Z \times Z /2 Z \times Z /2 Z$ （単因子 ${2, 2, 2}$ ，不変因子 ${2, 2, 2}$ ）

例 10 (位数

36

のアーベル群).

36 = 2^{2} \cdot 3^{2}

．

2^{2}

の分割：

(2), (1, 1)

．

3^{2}

の分割：

(2), (1, 1)

．組み合わせは

2 \times 2 = 4

通り：

$Z /4 Z \times Z /9 Z ≅ Z /36 Z$ （不変因子 ${36}$ ）
$Z /4 Z \times Z /3 Z \times Z /3 Z$ （不変因子 ${3, 12}$ ）
$Z /2 Z \times Z /2 Z \times Z /9 Z$ （不変因子 ${2, 18}$ ）
$Z /2 Z \times Z /2 Z \times Z /3 Z \times Z /3 Z ≅ Z /6 Z \times Z /6 Z$ （不変因子 ${6, 6}$ ）

例 11 (位数

72

のアーベル群).

72 = 2^{3} \cdot 3^{2}

．

2^{3}

の分割

3

通り

\times

3^{2}

の分割

2

通り

= 6

通り：

$Z /8 Z \times Z /9 Z ≅ Z /72 Z$
$Z /8 Z \times Z /3 Z \times Z /3 Z$
$Z /4 Z \times Z /2 Z \times Z /9 Z$
$Z /4 Z \times Z /2 Z \times Z /3 Z \times Z /3 Z$
$Z /2 Z \times Z /2 Z \times Z /2 Z \times Z /9 Z$
$Z /2 Z \times Z /2 Z \times Z /2 Z \times Z /3 Z \times Z /3 Z$

8 アーベル群の指数と階数

定義 12.

有限アーベル群

G

に対して：

$G$ の指数（exponent） $exp (G)$ ： $G$ の元の位数の最小公倍数．不変因子形では $exp (G) = d_{t}$ （最大の不変因子）．
$G$ の階数（rank）：単因子分解における因子の個数．

命題 13.

G

が巡回群

\Leftrightarrow

exp (G) = ∣ G ∣

\Leftrightarrow

不変因子が一つだけ．

9 まとめ

有限アーベル群は巡回群の直積に分解される（単因子形・不変因子形）．
分解は一意的であり，有限アーベル群を完全に分類する．
分類は位数の素因数分解に帰着し，各素数べきごとの分割の組み合わせで列挙できる．
アーベル群論は「完成した」理論であり，非アーベル群の構造決定とは対照的である．

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有限アーベル群の構造定理 ― 完全な分類

1 目標

2 巡回群の基本性質

3 $p$ 群の分解

4 一次分解（ $p$ 成分分解）

5 有限アーベル群の基本定理

6 一意性の証明

7 分類の実践

8 アーベル群の指数と階数

9 まとめ

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