合成列と Jordan-Hölder の定理 ― 群の素因数分解

正規列・合成列の概念を導入し，群を単純群に分解する枠組みを構築します．Jordan-Hölderの定理により合成因子の一意性を証明し，可解群の定義と判定法を解説します．群の構造を「素因数分解」する理論です．

2026年2月27日

1 正規列

定義 1 (正規列).

群

G

の正規列（normal series）とは，部分群の列

{e} = G_{0} ⊴ G_{1} ⊴ G_{2} ⊴ \dots ⊴ G_{n} = G

のことである．

n

をこの列の長さ，各商群

G_{i + 1} / G_{i}

を因子（factor）という．

定義 2 (細分).

正規列の間にさらに正規部分群を挿入して得られる正規列を，元の列の細分（refinement）という．

例 3.

G = Z /12 Z

の正規列：

{0} ⊴ ⟨ 6 ⟩ ⊴ ⟨ 3 ⟩ ⊴ ⟨ 1 ⟩ = Z /12 Z

因子は

⟨ 6 ⟩ / {0} ≅ Z /2 Z

，

⟨ 3 ⟩ / ⟨ 6 ⟩ ≅ Z /2 Z

，

Z /12 Z / ⟨ 3 ⟩ ≅ Z /3 Z

．

2 単純群

定義 4 (単純群).

位数

2

以上の群

G

が単純群（simple group）であるとは，

G

の正規部分群が

{e}

と

G

のみであることをいう．

単純群は「これ以上分解できない群」であり，整数における素数に対応する．

例 5.

位数 $p$ （素数）の群 $Z / p Z$ は単純群．
交代群 $A_{n}$ （ $n \geq 5$ ）は単純群（ $A_{5}$ の単純性はガロア理論において5次方程式の代数的解法が存在しないことの鍵となる）．
$Z /4 Z$ は単純群でない（ ${0, 2}$ が正規部分群）．

3 合成列

定義 6 (合成列).

群

G

の正規列

{e} = G_{0} ⊴ G_{1} ⊴ G_{2} ⊴ \dots ⊴ G_{n} = G

が合成列（composition series）であるとは，各因子

G_{i + 1} / G_{i}

がすべて単純群であることをいう．因子

G_{i + 1} / G_{i}

を合成因子（composition factor）という．

合成列は「これ以上細分できない正規列」である．

命題 7.

正規列が合成列

\Leftrightarrow

これ以上真に細分できない．

証明.

G_{i + 1} / G_{i}

が単純群でないなら，非自明な正規部分群

G_{i} ⪇ N ⪇ G_{i + 1}

（

N ⊴ G_{i + 1}

）を挿入できる．逆に各因子が単純なら，

G_{i}

と

G_{i + 1}

の間に正規部分群は挿入できない． □

定理 8.

有限群は合成列を持つ．

証明.

∣ G ∣

に関する帰納法．

G

が単純群なら

{e} ⊴ G

が合成列．単純でなければ非自明な正規部分群

N

が存在し，

∣ N ∣ < ∣ G ∣

かつ

∣ G / N ∣ < ∣ G ∣

に帰納法を適用すればよい． □

例 9 (

S_{3}

の合成列).

{e} ⊴ A_{3} ⊴ S_{3}

合成因子：

A_{3} / {e} ≅ Z /3 Z

，

S_{3} / A_{3} ≅ Z /2 Z

．

例 10 (

S_{4}

の合成列).

{e} ⊴ V_{4} ⊴ A_{4} ⊴ S_{4}

ここで

V_{4} = {e, (12) (34), (13) (24), (14) (23)}

（クラインの四元群）．合成因子：

V_{4} / {e} ≅ V_{4}

（単純でない）．これは合成列でない．さらに細分する：

{e} ⊴ ⟨(12) (34)⟩ ⊴ V_{4} ⊴ A_{4} ⊴ S_{4}

合成因子：

Z /2 Z

，

Z /2 Z

，

Z /3 Z

，

Z /2 Z

．

4 Jordan-Hölder の定理

定理 11 (Jordan-Hölder の定理).

有限群

G

の任意の2つの合成列

{e} = G_{0} ⊴ G_{1} ⊴ \dots ⊴ G_{m} = G {e} = H_{0} ⊴ H_{1} ⊴ \dots ⊴ H_{n} = G

に対して

m = n

であり，合成因子の集合（重複度込み）は並べ替えで一致する：

{G_{1} / G_{0}, G_{2} / G_{1}, \dots, G_{m} / G_{m - 1}} = {H_{1} / H_{0}, H_{2} / H_{1}, \dots, H_{n} / H_{n - 1}}

（同型を除いて，多重集合として一致）．

この定理は整数の素因数分解の一意性（算術の基本定理）の群論版である．

証明.

m + n

に関する帰納法．

G_{m - 1} = H_{n - 1}

の場合は帰納法で直ちに従う．

G_{m - 1} \neq = H_{n - 1}

の場合：

G_{m - 1}

と

H_{n - 1}

はともに

G

の極大正規部分群（

G / G_{m - 1}

と

G / H_{n - 1}

が単純群）．

K = G_{m - 1} \cap H_{n - 1}

とおく．

G_{m - 1} H_{n - 1} = G

（

G_{m - 1}, H_{n - 1}

が極大）より，第二同型定理から

G / G_{m - 1} ≅ H_{n - 1} / (G_{m - 1} \cap H_{n - 1}) = H_{n - 1} / K G / H_{n - 1} ≅ G_{m - 1} / (G_{m - 1} \cap H_{n - 1}) = G_{m - 1} / K

K

の合成列を取り，

G_{m - 1}

と

H_{n - 1}

それぞれに

K

を経由する合成列を作る．帰納法の仮定を適用して合成因子の多重集合が一致することを示す． □

5 可解群

定義 12 (可解群).

群

G

が可解群（solvable group）であるとは，正規列

{e} = G_{0} ⊴ G_{1} ⊴ \dots ⊴ G_{n} = G

であって，すべての因子

G_{i + 1} / G_{i}

がアーベル群となるものが存在することをいう．

命題 13.

有限群

G

に対して，次は同値：

$G$ は可解群．
$G$ の合成因子がすべて素数位数の巡回群．

証明.

(2) \Rightarrow (1)

：素数位数の巡回群はアーベル群．

(1) \Rightarrow (2)

：アーベル群の合成因子は単純アーベル群，すなわち素数位数の巡回群である（有限アーベル群の構造定理より）． □

例 14.

$S_{3}$ は可解群： ${e} ⊴ A_{3} ⊴ S_{3}$ ．因子 $Z /3 Z$ ， $Z /2 Z$ はアーベル．
$S_{4}$ は可解群： ${e} ⊴ V_{4} ⊴ A_{4} ⊴ S_{4}$ ．因子 $V_{4} ≅ (Z /2 Z)^{2}$ ， $Z /3 Z$ ， $Z /2 Z$ はアーベル．
$S_{n}$ （ $n \geq 5$ ）は可解群でない： $A_{n}$ が単純群なので合成因子に $A_{n}$ が現れ， $A_{n}$ は非アーベル．

6 導来列

定義 15 (交換子群).

群

G

の交換子群（derived subgroup / commutator subgroup）

G^{'} = [G, G]

を

G^{'} = ⟨ g, h ∣ g, h \in G ⟩, g, h = g^{- 1} h^{- 1} g h

で定める．

命題 16.

G^{'} ⊴ G

であり，

G / G^{'}

はアーベル群である．さらに

G / G^{'}

は

G

の最大アーベル商である：

G / N

がアーベル

\Leftrightarrow

G^{'} \leq N

．

証明.

φ \in Aut (G)

は

[g, h]

を

[φ (g), φ (h)]

に写すので

G^{'}

は特性部分群，特に正規．

G / G^{'}

がアーベルであることは

(g G^{'}) (h G^{'}) = g h G^{'} = h g [g^{- 1}, h^{- 1}] G^{'} = h g G^{'}

（

[g^{- 1}, h^{- 1}] \in G^{'}

）より従う．

G / N

がアーベルなら

g h N = h g N

，すなわち

g^{- 1} h^{- 1} g h \in N

（

\forall g, h

）．よって

G^{'} \leq N

． □

定義 17 (導来列).

G

の導来列（derived series）を

G^{(0)} = G, G^{(1)} = G^{'} = G, G, G^{(k + 1)} = G^{(k)}, G^{(k)}

で帰納的に定める．

定理 18.

有限群

G

に対して：

G

が可解

\Leftrightarrow

ある

n

に対して

G^{(n)} = {e}

．

証明.

(\Rightarrow)

{e} = G_{0} ⊴ G_{1} ⊴ \dots ⊴ G_{r} = G

をアーベル因子列とする．

G_{i + 1} / G_{i}

がアーベルなので

G_{i + 1}^{'} \leq G_{i}

．

G^{(1)} = G^{'} \leq G_{r - 1}

，

G^{(2)} \leq G_{r - 2}

，

\dots

，

G^{(r)} \leq G_{0} = {e}

．

(\Leftarrow)

G^{(n)} = {e}

なら

G = G^{(0)} ⊵ G^{(1)} ⊵ \dots ⊵ G^{(n)} = {e}

が因子アーベルの正規列． □

7 可解群の性質

定理 19.

$G$ が可解で $H \leq G$ ならば $H$ も可解．
$G$ が可解で $N ⊴ G$ ならば $G / N$ も可解．
$N ⊴ G$ で $N$ と $G / N$ がともに可解ならば $G$ も可解．

証明.

(1)

H^{(k)} \leq G^{(k)}

が帰納的に示せる．

G^{(n)} = {e}

なら

H^{(n)} = {e}

．

(2) 自然準同型

π : G \to G / N

に対して

π (G^{(k)}) = (G / N)^{(k)}

（帰納法で示せる）．

G^{(n)} = {e}

なら

(G / N)^{(n)} = {e}

．

(3)

G / N

が可解なので

(G / N)^{(m)} = {e}

，すなわち

G^{(m)} \leq N

．

N

が可解なので

N^{(k)} = {e}

，

G^{(m + k)} = (G^{(m)})^{(k)} \leq N^{(k)} = {e}

． □

定理 20 (バーンサイドの定理).

位数

p^{a} q^{b}

（

p, q

素数）の有限群は可解群である．

この定理の証明には群の表現論（特に群の指標理論）が必要であり，純粋に群論的な証明は長らく知られていなかった．Feit-Thompson の定理（奇数位数定理）は「奇数位数の有限群は可解である」というさらに強い結果を与えた．

8 まとめ

合成列は群を単純群の因子に分解する．
Jordan-Hölder の定理により合成因子の集合は一意的（群の「素因数分解」の一意性）．
可解群：合成因子がすべて素数位数巡回群．導来列で判定可能．
$S_{n}$ （ $n \leq 4$ ）は可解， $S_{n}$ （ $n \geq 5$ ）は非可解（ $A_{n}$ が非アーベル単純群）．
群の構造は「どの単純群から構成されるか」（合成因子）と「どう貼り合わされるか」（拡大問題）に分離される．

群論代数学教科書合成列 Jordan-Hölder 可解群

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合成列と Jordan-Hölder の定理 ― 群の素因数分解

1 正規列

2 単純群

3 合成列

4 Jordan-Hölder の定理

5 可解群

6 導来列

7 可解群の性質

8 まとめ

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