正規部分群と商群 ― 群を「割り算」する

正規部分群の定義と同値な条件を整理し，剰余類の集合に群構造を入れて商群を構成します．自然な準同型，指数2の部分群が常に正規であること，単純群の概念まで，群論の中核を体系的に解説します．

2026年2月27日

1 動機

前記事でラグランジュの定理を証明した際，部分群 $H$ の左剰余類全体が $G$ の分割をなすことを見た．自然な問いは「この分割に群構造を入れられないか？」である．

剰余類同士の「積」を $a H \cdot b H = (ab) H$ で定義しようとすると，問題が生じる． $a H = a^{'} H$ かつ $b H = b^{'} H$ のとき， $(ab) H = (a^{'} b^{'}) H$ が保証されなければ well-defined でない．この条件が成り立つのは $H$ が正規部分群のときに限る．

2 正規部分群の定義

定義 1 (正規部分群).

群

G

の部分群

N

が正規部分群（normal subgroup）であるとは，任意の

g \in G

に対して

g N = N g

が成り立つことをいう．

N ⊴ G

と書く．

N \neq = {e}

かつ

N \neq = G

のとき真の正規部分群といい，

N ◃ G

と書く．

注意 2.

g N = N g

は「

g n = n g

（すべての

n \in N

）」を意味するのではない．

g N = N g

は集合としての等号であり，「

g

で左から掛けた集合と右から掛けた集合が同じ」ということである．

3 正規部分群の同値条件

定理 3 (正規部分群の特徴づけ).

G

を群，

N \leq G

とする．次の条件は同値である：

$N ⊴ G$ （すなわち任意の $g \in G$ に対して $g N = N g$ ）
任意の $g \in G$ に対して $g N g^{- 1} = N$
任意の $g \in G$ ， $n \in N$ に対して $g n g^{- 1} \in N$
任意の $g \in G$ に対して $g N g^{- 1} \subseteq N$

証明.

(1) \Rightarrow (2)

：

g N = N g

の両辺に右から

g^{- 1}

を掛けると

g N g^{- 1} = N g g^{- 1} = N

．

(2) \Rightarrow (3)

：

g N g^{- 1} = N

より，

n \in N

に対して

g n g^{- 1} \in g N g^{- 1} = N

．

(3) \Rightarrow (4)

：明らか．

(4) \Rightarrow (1)

：任意の

g

で

g N g^{- 1} \subseteq N

ならば

g N \subseteq N g

．

g

を

g^{- 1}

に置き換えると

g^{- 1} N g \subseteq N

，すなわち

N g \subseteq g N

．よって

g N = N g

． □

定義 4 (共役).

g \in G

，

n \in N

に対して

g n g^{- 1}

を

g

による

n

の共役（conjugate）という．条件 (3) は「

N

が

G

のすべての元による共役で閉じている」と読める．

4 正規部分群の例

例 5 (自明な正規部分群).

任意の群

G

に対して

{e} ⊴ G

かつ

G ⊴ G

．

例 6 (アーベル群).

G

がアーベル群ならば，

G

のすべての部分群は正規部分群である．

g n g^{- 1} = g g^{- 1} n = n \in N

．

例 7 (指数

2

の部分群).

[G : N] = 2

ならば

N ⊴ G

．

証明.

g \in N

なら

g N = N = N g

は明らか．

g \in / N

なら，左剰余類は

N

と

g N

の

2

つだけ．

g N = G ∖ N

．同様に右剰余類も

N

と

N g

の

2

つで，

N g = G ∖ N

．よって

g N = N g

． □

例 8 (

A_{n} ⊴ S_{n}

交代群

A_{n}

は

S_{n}

の正規部分群である．

[S_{n} : A_{n}] = 2

なので上の結果から従う．

例 9 (

S L_{n} (R) ⊴ G L_{n} (R)

A \in G L_{n} (R)

，

B \in S L_{n} (R)

に対して

det (A B A^{- 1}) = det (A) det (B) det (A)^{- 1} = det (B) = 1

なので

A B A^{- 1} \in S L_{n} (R)

．

例 10 (核は正規部分群).

群準同型

φ : G \to G^{'}

に対して

ker φ ⊴ G

．

n \in ker φ

ならば

φ (g n g^{- 1}) = φ (g) φ (n) φ (g)^{- 1} = φ (g) e_{G^{'}} φ (g)^{- 1} = e_{G^{'}}

より

g n g^{- 1} \in ker φ

．

例 11 (正規でない部分群).

S_{3}

において

H = {e, (12)}

は正規部分群ではない．

(13) (12) (13)^{- 1} = (13) (12) (13) = (23) \in / H

．

5 商群の構成

定理 12 (商群).

N ⊴ G

とする．

G / N = {g N ∣ g \in G}

（左剰余類全体の集合）に

(a N) (b N) = (ab) N

で演算を定めると，

G / N

は群をなす．これを

G

の

N

による商群（quotient group）という．

証明.

well-defined：

a N = a^{'} N

，

b N = b^{'} N

とする．

a^{'} = a n_{1}

，

b^{'} = b n_{2}

（

n_{1}, n_{2} \in N

）と書ける．

a^{'} b^{'} = a n_{1} b n_{2} = a (n_{1} b) n_{2}

．

N

が正規なので

n_{1} b = b n_{1}^{'}

（ある

n_{1}^{'} \in N

）．よって

a^{'} b^{'} = ab n_{1}^{'} n_{2}

，

n_{1}^{'} n_{2} \in N

なので

(a^{'} b^{'}) N = (ab) N

．

結合法則：

(a N \cdot b N) \cdot c N = (ab) N \cdot c N = ((ab) c) N = (a (b c)) N = a N \cdot (b c) N = a N \cdot (b N \cdot c N)

．

単位元：

e N = N

が単位元．

a N \cdot N = (a e) N = a N

．

逆元：

(a N)^{- 1} = a^{- 1} N

．

a N \cdot a^{- 1} N = (a a^{- 1}) N = N

． □

例 13 (

Z / n Z

Z

はアーベル群なので

n Z ⊴ Z

．商群

Z / n Z

は位数

n

の巡回群であり，元は

\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \dots, \overline{n - 1}

，演算は

\overset{a}{ˉ} + \overset{ˉ}{b} = \overline{a + b}

．

例 14 (

S_{3} / A_{3}

A_{3} = {e, (123), (132)} ⊴ S_{3}

．商群

S_{3} / A_{3}

は位数

2

で

S_{3} / A_{3} ≅ Z /2 Z

．剰余類は

A_{3}

（偶置換）と

(12) A_{3}

（奇置換）の

2

つ．

例 15 (

G L_{n} (R) / S L_{n} (R)

S L_{n} (R) ⊴ G L_{n} (R)

であり，商群は

G L_{n} (R) / S L_{n} (R) ≅ R^{\times}

（

det

による同型）．

6 自然な準同型

定義 16 (自然な準同型（射影）).

N ⊴ G

に対して，写像

π : G \to G / N

，

π (g) = g N

を自然な準同型（natural homomorphism）または標準射影（canonical projection）という．

定理 17.

自然な準同型

π : G \to G / N

は全射準同型であり，

ker π = N

．

証明.

π (ab) = (ab) N = (a N) (b N) = π (a) π (b)

より準同型．任意の

g N \in G / N

に対して

π (g) = g N

なので全射．

ker π = {g \in G ∣ g N = N} = {g \in G ∣ g \in N} = N

． □

注意 18.

この定理は「正規部分群

=

準同型の核」を示している．正規部分群

N

が与えられれば

π : G \to G / N

の核が

N

，逆に準同型

φ

の核

ker φ

は正規部分群（前節の例で示した）．

7 正規部分群と準同型の関係

定理 19 (正規部分群の生成).

群準同型

φ : G \to G^{'}

に対して，

$H \leq G \Rightarrow φ (H) \leq G^{'}$
$H^{'} \leq G^{'} \Rightarrow φ^{- 1} (H^{'}) \leq G$
$N^{'} ⊴ G^{'} \Rightarrow φ^{- 1} (N^{'}) ⊴ G$
$φ$ が全射で $N ⊴ G$ ならば $φ (N) ⊴ G^{'}$

ここで

φ^{- 1} (H^{'}) = {g \in G ∣ φ (g) \in H^{'}}

は逆像．

証明.

(1)

a, b \in H \Rightarrow φ (a) φ (b)^{- 1} = φ (a b^{- 1}) \in φ (H)

．

(2)

a, b \in φ^{- 1} (H^{'}) \Rightarrow φ (a b^{- 1}) = φ (a) φ (b)^{- 1} \in H^{'}

（

H^{'} \leq G^{'}

なので）

\Rightarrow a b^{- 1} \in φ^{- 1} (H^{'})

．

(3)

g \in G

，

n \in φ^{- 1} (N^{'})

とする．

φ (g n g^{- 1}) = φ (g) φ (n) φ (g)^{- 1} \in N^{'}

（

N^{'} ⊴ G^{'}

なので）．よって

g n g^{- 1} \in φ^{- 1} (N^{'})

．

(4)

g^{'} \in G^{'}

，

φ (n) \in φ (N)

とする．

φ

が全射なので

g^{'} = φ (g)

（ある

g \in G

）．

g^{'} φ (n) g^{' - 1} = φ (g) φ (n) φ (g)^{- 1} = φ (g n g^{- 1}) \in φ (N)

（

N ⊴ G

より

g n g^{- 1} \in N

）． □

8 単純群

定義 20 (単純群).

群

G

（

∣ G ∣ > 1

）が真の正規部分群を持たないとき，

G

を単純群（simple group）という．すなわち

N ⊴ G

ならば

N = {e}

または

N = G

．

定理 21.

位数が素数

p

の群は単純群である．

証明.

ラグランジュの定理より，

∣ G ∣ = p

のとき部分群の位数は

1

か

p

のみ．よって部分群は

{e}

と

G

のみであり，真の正規部分群は存在しない． □

定理 22.

n \geq 5

のとき，交代群

A_{n}

は単純群である．

注意 23.

A_{n}

の単純性の証明は本格的な議論を要するため，ここでは定理の主張のみ述べる．

A_{5}

が最小の非可換単純群であり，

∣ A_{5} ∣ = 60

である．

注意 24.

単純群は群論における「素数」のような役割を果たす．任意の有限群は（合成列を通じて）単純群から構成される．有限単純群の完全な分類は20世紀の代数学の大定理の一つである．

9 商群による構造の分析

定理 25 (対応定理（第四同型定理）).

N ⊴ G

とする．

N

を含む

G

の部分群と

G / N

の部分群の間には，包含関係を保つ全単射が存在する：

H \mapsto H / N, \overset{ˉ}{H} \mapsto π^{- 1} (\overset{ˉ}{H})

ここで

π : G \to G / N

は自然な準同型．さらに

H ⊴ G ⟺ H / N ⊴ G / N

．

証明.

N \leq H \leq G

ならば

N ⊴ H

（

N ⊴ G

かつ

N \leq H

より）なので

H / N

は群をなし，

H / N \leq G / N

．

逆に

\overset{ˉ}{H} \leq G / N

ならば

π^{- 1} (\overset{ˉ}{H}) = {g \in G ∣ g N \in \overset{ˉ}{H}}

は

N

を含む

G

の部分群．

この2つの対応が互いに逆写像であること，包含関係と正規性を保つことが確認できる． □

10 まとめと次のステップ

本記事で扱った内容：

正規部分群の定義と同値条件（共役による閉性）
正規部分群の例（アーベル群，指数 $2$ ，核， $A_{n}$ ， $S L_{n}$ ）
商群 $G / N$ の構成と well-defined の証明
自然な準同型 $π : G \to G / N$ と「正規部分群 $=$ 核」の対応
単純群の定義と例
対応定理

正規部分群と商群を手に入れたことで，次の記事では群論の中心的な定理群 ― 準同型定理（第一・第二・第三同型定理）― を証明する．これらは「準同型の像は商群に同型」という基本原理のバリエーションであり，群の構造を解析する最も強力な道具となる．

正規部分群と商群 ― 群を「割り算」する

1 動機

2 正規部分群の定義

3 正規部分群の同値条件

4 正規部分群の例

5 商群の構成

6 自然な準同型

7 正規部分群と準同型の関係

8 単純群

9 商群による構造の分析

10 まとめと次のステップ

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