固有値と固有ベクトル ― 線形写像の不変方向

固有値・固有ベクトルの定義，固有多項式，固有空間，代数的・幾何的重複度を定義し，ケーリー・ハミルトンの定理を証明する．

2026年2月27日

1 定義

定義 1 (固有値・固有ベクトル).

V

を

K

上のベクトル空間，

T : V \to V

を線形写像とする．

T (v) = λ v

（

v \neq = 0

）を満たすスカラー

λ \in K

を

T

の固有値（eigenvalue），

v

を固有値

λ

に属する固有ベクトル（eigenvector）という．

行列

A \in M_{n} (K)

に対しては

A v = λ v

（

v \neq = 0

）で定義する．

定義 2 (固有空間).

λ

を

A

の固有値とする．

V_{λ} = ker (A - λ I) = {v \in K^{n} ∣ A v = λ v}

を固有値

λ

の固有空間（eigenspace）という．

V_{λ}

は

K^{n}

の部分空間である．

2 固有多項式

定理 3.

λ

が

A

の固有値であるための必要十分条件は

det (A - λ I) = 0

である．

証明.

A v = λ v

（

v \neq = 0

）

⟺

(A - λ I) v = 0

が非自明解を持つ

⟺

A - λ I

が正則でない

⟺

det (A - λ I) = 0

． □

定義 4 (固有多項式).

p_{A} (λ) = det (A - λ I)

を

A

の固有多項式（characteristic polynomial）という．これは

λ

の

n

次多項式で

p_{A} (λ) = (- 1)^{n} λ^{n} + (- 1)^{n - 1} (tr A) λ^{n - 1} + \dots + det A

定理 5.

相似な行列は同じ固有多項式を持つ．特に固有値は基底の取り方によらない．

証明.

det (P^{- 1} A P - λ I) = det (P^{- 1} (A - λ I) P) = det (P^{- 1}) det (A - λ I) det (P) = det (A - λ I)

． □

3 代数的重複度と幾何的重複度

定義 6.

固有値

λ_{0}

の代数的重複度（algebraic multiplicity）とは，

p_{A} (λ)

における

(λ - λ_{0})

の重複度（根としての重複度）をいう．

固有値

λ_{0}

の幾何的重複度（geometric multiplicity）とは，固有空間の次元

dim V_{λ_{0}}

をいう．

定理 7.

任意の固有値

λ_{0}

に対して

1 \leq 幾何的重複度 \leq 代数的重複度

例 8.

A = (2012)

の固有多項式は

p_{A} (λ) = (λ - 2)^{2}

．固有値

λ = 2

の代数的重複度は

2

．

ker (A - 2 I) = ker (0010) = span {(1, 0)^{T}}

より幾何的重複度は

1

．

定理 9 (異なる固有値の固有ベクトル).

λ_{1}, \dots, λ_{k}

が互いに異なる固有値のとき，対応する固有ベクトル

v_{1}, \dots, v_{k}

は線形独立である．

証明.

k

に関する帰納法で示す．

k = 1

は明らか．

k - 1

まで成立するとし，

\sum_{i = 1}^{k} c_{i} v_{i} = 0

とする．両辺に

A

を作用させると

\sum c_{i} λ_{i} v_{i} = 0

．元の式の

λ_{k}

倍を引くと

\sum_{i = 1}^{k - 1} c_{i} (λ_{i} - λ_{k}) v_{i} = 0

．帰納法の仮定と

λ_{i} \neq = λ_{k}

より

c_{i} = 0

（

i = 1, \dots, k - 1

）．元の式から

c_{k} v_{k} = 0

，

v_{k} \neq = 0

より

c_{k} = 0

． □

4 固有値の性質

定理 10.

n

次正方行列

A

の固有値

λ_{1}, \dots, λ_{n}

（重複を込めて）について：

$tr A = λ_{1} + \dots + λ_{n}$
$det A = λ_{1} \dots λ_{n}$
$A$ が正則 $⟺$ $0$ が固有値でない

5 ケーリー・ハミルトンの定理

定理 11 (ケーリー・ハミルトン).

A

を

n

次正方行列，

p_{A} (λ) = det (λ I - A)

をその固有多項式とする．このとき

p_{A} (A) = O

すなわち，

A

は自身の固有多項式を零化する．

証明.

B (λ) = (λ I - A)

の余因子行列を

\tilde{B} (λ)

とすると

(λ I - A) \tilde{B} (λ) = det (λ I - A) \cdot I = p_{A} (λ) I

．

\tilde{B} (λ) = B_{0} + B_{1} λ + \dots + B_{n - 1} λ^{n - 1}

と

p_{A} (λ) = c_{0} + c_{1} λ + \dots + (- 1)^{n} λ^{n}

を代入して

λ

の各べきの係数を比較し，左から順に

A^{k}

を掛けて足し合わせると

p_{A} (A) = O

． □

例 12.

A = (1324)

の固有多項式は

p_{A} (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2

．

A^{2} - 5 A - 2 I = (7151022) - (5151020) - (2002) = (0000) = O ✓

固有値と固有ベクトル ― 線形写像の不変方向

1 定義

2 固有多項式

3 代数的重複度と幾何的重複度

4 固有値の性質

5 ケーリー・ハミルトンの定理

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