組合せ論まとめ：定義・定理・アルゴリズムを一覧で整理【離散数学・競技プログラミング】
組合せ論の全体像を一記事で．数え上げの基礎からカタラン数・ラムゼー理論・代数的組合せ論まで，離散数学と競技プログラミングに必要な定義・定理・アルゴリズムを体系的にまとめた．各トピックの依存関係図付き．
数え上げの基礎 ― 加法原理・乗法原理・順列・組合せ
加法原理・乗法原理から出発し，順列$P(n,r)$，組合せ$C(n,r)$，重複順列，重複組合せ$H(n,r)$を定義・証明する教科書スタイルの記事．全射・単射の数え上げまでを扱う．
二項係数と二項定理 ― パスカルの三角形から多項定理まで
パスカルの恒等式，二項定理，ヴァンデルモンドの畳み込み，多項定理，負の二項係数，Lucasの定理を証明付きで解説する．
包除原理 ― 交互和による数え上げ
包除原理の証明から完全順列$D_n$，オイラーの$\varphi$関数の導出，全射と第二種スターリング数，メビウスの反転公式までを解説する．
母関数 I（通常型）― 数列を多項式で扱う
通常型母関数（OGF）の定義から積と畳み込みの関係，フィボナッチ数のBinet公式の導出，カタラン数・分割数の母関数を扱う．
母関数 II（指数型）― ラベル付き構造の数え上げ
指数型母関数（EGF）の定義と積がラベル付き合併に対応することを示し，スターリング数，ベル数，ケイリーの公式を導出する．
漸化式と数え上げ ― 線形漸化式の解法
特性方程式による線形漸化式の求解法，非同次の特殊解，母関数との等価性，格子経路の漸化式，行列累乗とkitamasa法を解説する．
カタラン数と格子経路 ― 反射原理と全単射証明
カタラン数$C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$の反射原理による証明，LGV公式，5つの組合せ的解釈の全単射構成，バロット問題，Narayana数を扱う．
鳩の巣原理とラムゼー理論 ― 存在定理の組合せ論
一般化鳩の巣原理，Erdős–Szekeresの定理，ラムゼー数$R(s,t)$の存在，$R(3,3)=6$の証明，確率的方法による下界を扱う．
バーンサイドの補題とポリアの数え上げ定理 ― 対称性を考慮した数え上げ
群作用・軌道・固定部分群の定義からバーンサイドの補題を証明し，巡回指標を定義してポリアの定理を導く．ネックレス・ブレスレットの数え上げに応用する．
組合せデザインとラテン方陣 ― 均衡のとれた配置
ラテン方陣の定義と存在，直交ラテン方陣（MOLS），BIBD（均衡不完備ブロック計画），Fisherの不等式，有限射影平面との関連を解説する．
半順序集合と束 ― 順序構造の組合せ論
posetの定義，ハッセ図，鎖と反鎖，Dilworthの定理，Mirskyの定理，束の定義，メビウス関数（incidence algebra）を証明付きで解説する．
組合せ論と代数 ― 形式的べき級数と代数的組合せ論入門
形式的べき級数環$\mathbb{Q}[[x]]$の代数構造，逆元・合成・微分，P-recursive列，Lagrangeの反転公式，WZ法と超幾何級数を紹介する．